# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 4. (0-1)
Różnica
2
2
50001
49999
jest równa
A. 2 000 000
B. 200 000
C. 20 000
D. 4
Różnica 50001^2 - 49999^2 jest równa A. 2 000 000, B. 200 000, C. 20 000, D. 4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(200\,000\)

## Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów

Zauważamy, że mamy różnicę kwadratów dwóch liczb. Zamiast liczyć potęgi na piechotę (co dałoby ogromne liczby!), używamy wzoru skróconego mnożenia:

\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]

Podstawiamy \(a = 50001\), \(b = 49999\):

\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999)\]

\[= 2 \cdot 100000\]

\[= \mathbf{200\,000}\]

## Sposób 2 - Podstawienie symetryczne

Możemy zapisać obie liczby jako odchylenia od liczby środkowej \(50000\):

\[50001 = 50000 + 1, \quad 49999 = 50000 - 1\]

Oznaczamy \(n = 50000\), wtedy:

\[(n+1)^2 - (n-1)^2\]

Rozwijamy każdy nawias ze wzoru \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\):

\[(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)\]

\[= n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1\]

\[= 4n\]

\[= 4 \cdot 50000 = \mathbf{200\,000}\]

Oba sposoby dają ten sam wynik - świetna weryfikacja!

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.

\[(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 przy rozwijaniu nawiasów.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A - \(2\,000\,000\) | Pomyłka o rząd wielkości; np. błędne pomnożenie \(2 \cdot 1\,000\,000\) zamiast \(2 \cdot 100\,000\) |
| C - \(20\,000\) | Pomyłka o rząd wielkości w drugą stronę; np. przyjęcie \(a + b = 10\,000\) zamiast \(100\,000\) |
| D - \(4\) | Zapomniano o \((a+b)\) i wzięto tylko \((a-b)^2 = 4\), albo pomylono różnicę kwadratów z kwadratem różnicy |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \(50001^2\) i \(49999^2\) oddzielnie - to ogromne liczby i łatwo o błąd arytmetyczny. Wzór na różnicę kwadratów pozwala ominąć całe to liczenie!

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić różnicę kwadratów \(a^2 - b^2\) z kwadratem różnicy \((a-b)^2\). To zupełnie różne wyrażenia - tu mamy \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), a nie \((a-b)^2\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu \(50001 + 49999\) uważaj na wynik - to \(100\,000\), a nie \(10\,000\). Jeden zero robi różnicę całego rzędu wielkości!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
\[50001^2 - 49999^2 = (50001 - 49999)(50001 + 49999) = 2\cdot 100000 = 200\,000.\]

### Sposób 2 - Z rozwinięcia dwumianów
Niech \(a = 50000\). Wtedy:
\[50001^2 = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1,\]
\[49999^2 = (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1.\]
Różnica: \((a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1) = 4a = 4\cdot 50000 = 200\,000\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(2\,000\,000\)** - za duża wartość; błąd w mnożeniu.
- **C. \(20\,000\)** - za mała.
- **D. \(4\)** - ktoś zrobił \((a+1)^2 - (a-1)^2\) dla \(a=1\).

**Trik:** ZAWSZE stosuj \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) - to niesamowicie szybki sposób.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (0-1) Wartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa A. 2 B. √2 C. 2 -20√2 D. 62 -10√2
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa A. 2 B. √2 C. 2 -20√2 D. 62
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia (2𝑎+ 𝑏)2 -(2𝑎-𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia A. 8𝑎2 B.
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3) — Cenę aparatu fotograficznego obniżono o 15% , a następnie - o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_