# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Wyrażenia algebraiczne, optymalizacja

## Treść

Zadanie 5. (0-1)
Najmniejsza wartość wyrażenia (
)(
)
x
y
x
y
dla
{
}
,
2,3,4
x y ∈
jest równa
A. 2
B. 24
C. 0
D.
12
Najmniejsza wartość wyrażenia (x-y)(x+y) dla x,y ∈ {2,3,4} jest równa A. 2, B. -24, C. 0, D. -12.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(-12\)

## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia + szukanie minimum

**Kluczowe spostrzeżenie:** wyrażenie \((x-y)(x+y)\) to wzór skróconego mnożenia:
\[(x-y)(x+y) = x^2 - y^2\]

Teraz zadanie sprowadza się do: znaleźć **najmniejszą wartość** \(x^2 - y^2\) dla \(x, y \in \{2, 3, 4\}\).

Żeby \(x^2 - y^2\) było jak najmniejsze (jak najbardziej ujemne), potrzebujemy:
- **\(x^2\) jak najmniejsze** → \(x = 2\), bo \(2^2 = 4\)
- **\(y^2\) jak największe** → \(y = 4\), bo \(4^2 = 16\)

Wynik:
\[x^2 - y^2 = 4 - 16 = \mathbf{-12}\]

## Sposób 2 - Sprawdzenie wszystkich 9 kombinacji (brute force)

Zbiór \(\{2, 3, 4\}\) ma 3 elementy, więc możliwych par \((x, y)\) jest \(3 \times 3 = 9\). Policzymy każdą:

| \(x\) | \(y\) | \(x^2 - y^2\) |
| 2 | 2 | \(4 - 4 = 0\) |
| 2 | 3 | \(4 - 9 = -5\) |
| **2** | **4** | \(\mathbf{4 - 16 = -12}\) ← minimum |
| 3 | 2 | \(9 - 4 = 5\) |
| 3 | 3 | \(9 - 9 = 0\) |
| 3 | 4 | \(9 - 16 = -7\) |
| 4 | 2 | \(16 - 4 = 12\) |
| 4 | 3 | \(16 - 9 = 7\) |
| 4 | 4 | \(16 - 16 = 0\) |

Najmniejsza wartość to \(-12\), osiągana dla \(x = 2, y = 4\). Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśmy tego wzoru "od prawej do lewej" - rozpoznaliśmy \((x-y)(x+y)\) jako \(x^2 - y^2\), co uprościło całe zadanie.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A - \(2\) | Żadna z 9 par nie daje wartości \(2\). Prawdopodobnie uczeń pomylił "najmniejsza wartość wyrażenia" z "najmniejsza liczba ze zbioru" |
| B - \(-24\) | Typowy błąd: uczeń liczy \(\min(x-y) \cdot \max(x+y)\) **jako oddzielne minima/maxima**, nie z tej samej pary. \(\min(x-y) = 2-4 = -2\), \(\max(x+y) = 4+4 = 8\), wynik \(-2 \cdot 8 = -16\). Albo jeszcze inny błąd arytmetyczny prowadzący do \(-24\) |
| C - \(0\) | Wartość \(0\) jest osiągalna (np. \(x = y = 3\)), ale to nie jest **najmniejsza** wartość. Uczeń szuka zera zamiast minimum |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie stosuj wzoru skróconego mnożenia "na odwrót" - wielu uczniów liczy \((x-y)(x+y)\) bezpośrednio, mnożąc nawiasami. To działa, ale tracisz czas. Rozpoznanie \(x^2 - y^2\) od razu wskazuje strategię minimalizacji.

> ⚠️ **Uwaga:** Aby zminimalizować \(x^2 - y^2\), musisz wziąć **tę samą parę** \((x, y)\). Nie można brać \(x = 2\) z jednej kombinacji i \(y = 4\) z innej - obydwie zmienne muszą być z **jednej** pary \((x, y)\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić "najmniejsza" z "o wartości bezwzględnej najmniejszej". Najmniejsza wartość to ta najbardziej ujemna, czyli \(-12\), a nie \(0\) (które jest bliżej zera).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Uproszczenie i analiza
\((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\). Szukamy minimum dla \(x, y \in \{2, 3, 4\}\). Wartość minimalna to minimalne \(x^2\) minus maksymalne \(y^2\):
\[\min = 2^2 - 4^2 = 4 - 16 = -12.\]

### Sposób 2 - Sprawdzanie wszystkich możliwości
Dla każdej pary \((x, y)\):
- najmniejsze \(x^2 - y^2\) gdy \(x\) jak najmniejsze, a \(y\) jak największe: \(x=2, y=4\) → \(4 - 16 = -12\).
- Inne skrajne: \((2, 3) \to -5\), \((3, 4) \to -7\), \((2, 2) \to 0\) itd.

Najmniejsza wartość: \(-12\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(2\)** - to wartość dodatnia, nie najmniejsza.
- **B. \(-24\)** - za mała; wymagałoby \(x=0, y=\sqrt{24}\) co nie jest w zbiorze.
- **C. \(0\)** - wartość przy \(x = y\), ale nie najmniejsza.

**Trik:** w wyrażeniach \(x^2 - y^2\) minimum osiąga się dla minimalnego \(x^2\) i maksymalnego \(y^2\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu ( ) 3 2 1 W x x ax bx + wiedząc, że ( ) 2 7 W oraz, że reszta z dzielenia ( ) W x przez ( ) 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wielomian 𝑊(𝑥) = 8𝑥3 + 14𝑥2 + 5𝑥+ 3 jest iloczynem wielomianów 𝑃(𝑥) = 2𝑥+ 3 oraz 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wynikiem dzielenia wielomianu 5𝑥ଷ-7𝑥ଶ-4𝑥-4 przez dwumian 𝑥-2 jest trójmian kwadratowy postaci 𝑎𝑥ଶ+ 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od 
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia 𝑥3 -2𝑥2 + 𝑥 jest równa wartości

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_