# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy

## Treść

Zadanie 6. (0-1)
Wartość wyrażenia
3
3
3
2
log
log
2
9
jest równa
A.
1
B.
2
C.
3
5
log 11
D.
3
31
log 18
Wartość wyrażenia log_3 3/2 + log_3 2/9 jest równa A. -1, B -2, C. log_3 5/11, D. log_3 31/18.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(-1\)

## Sposób 1 - własność logarytmu iloczynu

Kluczowa własność: logarytmy o tej samej podstawie możemy **dodać**, zamieniając sumę na logarytm iloczynu:
\[\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)\]

Stosujemy:
\[\log_{3}\frac{3}{2} + \log_{3}\frac{2}{9} = \log_{3}\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9}\right)\]

Mnożymy ułamki:
\[\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\]

Zatem:
\[\log_{3}\frac{1}{3} = \log_{3} 3^{-1} = -1\]

**Odpowiedź: \(-1\)**, czyli opcja A.

## Sposób 2 - rozbicie każdego logarytmu osobno

Każdy logarytm ilorazu rozbijamy wzorem \(\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\):

\[\log_{3}\frac{3}{2} = \log_{3}3 - \log_{3}2 = 1 - \log_{3}2\]

\[\log_{3}\frac{2}{9} = \log_{3}2 - \log_{3}9 = \log_{3}2 - \log_{3}3^2 = \log_{3}2 - 2\]

Dodajemy:
\[(1 - \log_{3}2) + (\log_{3}2 - 2) = 1 - \log_{3}2 + \log_{3}2 - 2 = 1 - 2 = -1\]

Człony \(\log_{3}2\) znoszą się wzajemnie - **wynik: \(-1\)**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**

Własność logarytmu iloczynu:
\[\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\]

Własność logarytmu ilorazu:
\[\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\]

Własność logarytmu potęgi:
\[\log_a x^r = r \cdot \log_a x\]

Użyliśmy pierwszej własności w Sposobie 1 (suma → iloczyn), a drugiej i trzeciej w Sposobie 2 (rozbicie ilorazów + \(\log_3 3^2 = 2\)).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B (\(-2\)) | Obliczono tylko \(\log_3\frac{2}{9} = -2\) i zignorowano pierwszy składnik, lub przy dodawaniu logarytmów pomnożono zamiast wymnożyć argumenty: \(\frac{3}{2} + \frac{2}{9} \approx \frac{31}{18}\), a potem błędnie uproszczono do \(-2\) |
| C (\(\log_3\frac{5}{11}\)) | Błąd polegający na **dodaniu mianowników i liczników** zamiast mnożenia: \(\frac{3+2}{2+9} = \frac{5}{11}\) - to nie jest własność logarytmów! |
| D (\(\log_3\frac{31}{18}\)) | Błąd polegający na **dodaniu ułamków** jako argumentów zamiast ich mnożenia: \(\frac{3}{2} + \frac{2}{9} = \frac{27}{18} + \frac{4}{18} = \frac{31}{18}\) - to błąd zamiany sumy logarytmów na logarytm sumy |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** \(\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)\), **NIE** \(\log_a(x + y)\). Suma logarytmów to logarytm **iloczynu** - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(\log_3 3^{-1} = -1\) - potęga wychodzi przed logarytm. Wynik może być liczbą całkowitą nawet gdy argumenty wyglądają skomplikowanie.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozbijaniu \(\log_3\frac{2}{9}\) trzeba zauważyć, że \(9 = 3^2\), więc \(\log_3 9 = 2\). Nie warto liczyć \(\log_3 9\) "na czuja" - sprawdź, czy mianownik/licznik jest potęgą podstawy.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Prawo logarytmu sumy
Wzór: \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\).
\[\log_3\dfrac{3}{2} + \log_3\dfrac{2}{9} = \log_3\left(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{9}\right) = \log_3\dfrac{6}{18} = \log_3\dfrac{1}{3} = -1.\]

### Sposób 2 - Rozłożenie na części
\[\log_3\dfrac{3}{2} = \log_3 3 - \log_3 2 = 1 - \log_3 2,\]
\[\log_3\dfrac{2}{9} = \log_3 2 - \log_3 9 = \log_3 2 - 2.\]
Suma: \((1 - \log_3 2) + (\log_3 2 - 2) = 1 - 2 = -1\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(-2\)** - ktoś błędnie odjął zamiast dodać, lub wziął \(\log_3 9 = 2\).
- **C. \(\log_3\tfrac{5}{11}\)** - ktoś dodał liczniki i mianowniki (typowy błąd).
- **D. \(\log_3\tfrac{31}{18}\)** - ktoś dodał ułamki jak \(\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{9} = \tfrac{31}{18}\) zamiast mnożyć argumenty.

**Pamiętaj:** dodawanie logarytmów → **mnożenie** argumentów.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Liczby 𝑥 oraz 𝑦 są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby 𝑥 przez liczbę 𝑦 otrzymano iloraz 20 i resztę 26. Dokończ zdanie. Wybierz wł
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba √-64 3 + √27 3 √-32 5 jest równa A. (-2) B. (-1 2) C. 1 2 D. 2 Liczba ∛-64}
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/2) — Zadanie 2. (0-1) Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu 𝑌𝑋𝑋𝑌, gdzie 𝑋 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a 𝑌 jest najmniejszą
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Iloczyn 2 ⋅log3 5 jest równ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_