# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 7. (0-1)
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania (
)(
)(
)
2
2
8
4
16
0
x
x
x
, wybrano
największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa
A. 12
B. 10
C. 6
D. 4

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania (x-8)(x^2-4)(x^2+16) = 0 wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa A. 12, B. 10, C. 6, D. 4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - suma wynosi \(6\)

## Sposób 1 - rozkład na czynniki i odczyt pierwiastków

Mamy równanie:
\[(x-8)(x^2-4)(x^2+16) = 0\]

Iloczyn równa się zero, gdy **przynajmniej jeden czynnik równa się zero**.

**Czynnik 1:** \(x - 8 = 0\)
\[x = 8\]

**Czynnik 2:** \(x^2 - 4 = 0\)
\[x^2 = 4 \implies x = -2 \quad \text{lub} \quad x = 2\]

**Czynnik 3:** \(x^2 + 16 = 0\)
\[x^2 = -16\]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \(x^2 \geq 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\). Równanie \(x^2 = -16\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.

**Zbiór rozwiązań:**
\[x \in \{-2,\ 2,\ 8\}\]

Największa liczba: \(8\), najmniejsza: \(-2\).

**Suma:**
\[8 + (-2) = 6\]

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, że wszystkie trzy wartości rzeczywiście spełniają równanie:

- \(x = 8\): \((8-8)(64-4)(64+16) = 0 \cdot 60 \cdot 80 = 0\) ✓
- \(x = 2\): \((2-8)(4-4)(4+16) = (-6) \cdot 0 \cdot 20 = 0\) ✓
- \(x = -2\): \((-2-8)(4-4)(4+16) = (-10) \cdot 0 \cdot 20 = 0\) ✓

Potwierdzamy: największa to \(8\), najmniejsza to \(-2\), suma \(= 6\).

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu (iloczyn równa się zero, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem) oraz fakt, że \(x^2 \geq 0\) dla \(x \in \mathbb{R}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \(12\) | Uczeń liczy \(8 + 4 = 12\), biorąc \(x = 4\) z błędnego rozwiązania \(x^2 = 4 \Rightarrow x = 4\) (zapomnienie o ujemnym pierwiastku) |
| B: \(10\) | Uczeń liczy \(8 + 2 = 10\), ignorując \(x = -2\) - bierze tylko dodatni pierwiastek z \(x^2 = 4\) |
| D: \(4\) | Uczeń liczy \(2 + 2 = 4\) lub \(8 + (-4) = 4\), mylnie rozwiązując \(x^2 = 4\) jako \(x = \pm 4\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^2 - 4 = 0\) daje **dwa** rozwiązania: \(x = 2\) i \(x = -2\). Bardzo częsty błąd to wzięcie tylko wartości dodatniej.

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^2 + 16 = 0\) nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych - nie wolno napisać \(x = \pm 4\). Suma i różnica kwadratów to różne rzeczy: \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\), ale \(x^2 + 16\) nie rozkłada się nad \(\mathbb{R}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o sumę **największej i najmniejszej** spośród rozwiązań - trzeba najpierw wypisać WSZYSTKIE rozwiązania i dopiero wybrać skrajne.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Znajdowanie rozwiązań iloczynu
Równanie \((x-8)(x^2-4)(x^2+16) = 0\) jest równoważne warunkowi, że **przynajmniej jeden** z czynników zeruje się:
- \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)
- \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\)
- \(x^2 + 16 = 0 \Rightarrow\) brak rozwiązań rzeczywistych (bo \(x^2 \ge 0\), więc \(x^2 + 16 \ge 16 > 0\)).

Rozwiązania rzeczywiste: \(\{-2, 2, 8\}\). Największa: \(8\). Najmniejsza: \(-2\). Suma: \(8 + (-2) = 6\).

### Sposób 2 - Rozkład wzoru
Używamy wzoru skróconego: \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). Zatem:
\[(x-8)(x-2)(x+2)(x^2+16) = 0.\]
Pierwsze trzy czynniki dają \(x = 8, 2, -2\). Czwarty nigdy. Te same wartości.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(12\)** - ktoś policzył \(8 + 4\) (wzięto \(x = 4\) z \(x^2 = 4\)).
- **B. \(10\)** - \(8 + 2\), ale \(-2\) jest mniejsza niż \(2\).
- **D. \(4\)** - \(2 + 2\), ktoś zignorował \(x = 8\).

**Pułapka:** \(x^2 + 16 = 0\) NIE MA rozwiązań rzeczywistych - zawsze sprawdzaj znak.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_