# Matematyka — zadanie 8 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/8 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa) - rok: 2016 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Równania i nierówności ## Treść Zadanie 8. (0-1) Rozwiązaniem równania 7 5 x x , gdzie 0 x ≠ , jest liczba należąca do przedziału A. ( ) , 2 -∞- B. ) 2, 1 C. ) 1, 0 D. ( ) 0,+ ∞ Rozwiązaniem równania x-7 / x = 5, gdzie x ≠ 0, jest liczba należąca do przedziału A. (-∞,-2); B. <-2,-1); C. <-1,0); D. (0,+∞). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(\langle -2, -1 \rangle\) ## Sposób 1 - Algebraiczne rozwiązanie równania Mamy równanie: \[\frac{x-7}{x} = 5, \quad x \neq 0\] **Krok 1.** Mnożymy obie strony przez \(x\) (pamiętamy, że \(x \neq 0\)): \[x - 7 = 5x\] **Krok 2.** Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę: \[x - 5x = 7\] \[-4x = 7\] **Krok 3.** Dzielimy przez \(-4\): \[x = \frac{7}{-4} = -\frac{7}{4} = -1{,}75\] **Krok 4.** Sprawdzamy, czy \(x \neq 0\) - tak, \(-1{,}75 \neq 0\). ✓ **Krok 5.** Ustalamy, do którego przedziału należy \(x = -1{,}75\): Szukamy przedziału zawierającego \(-1{,}75\). Zauważamy: \[-2 \leq -1{,}75 \leq -1\] Zatem \(x = -\frac{7}{4} \in \langle -2, -1 \rangle\). **Odpowiedź: B** ## Sposób 2 - Rozbicie ułamka i weryfikacja **Alternatywne przekształcenie** - rozbijamy ułamek po lewej stronie: \[\frac{x-7}{x} = \frac{x}{x} - \frac{7}{x} = 1 - \frac{7}{x} = 5\] Stąd: \[-\frac{7}{x} = 4\] \[\frac{7}{x} = -4\] \[x = \frac{7}{-4} = -\frac{7}{4}\] Ten sam wynik: \(x = -\frac{7}{4}\). ✓ **Weryfikacja** - podstawiamy \(x = -\frac{7}{4}\) do pierwotnego równania: \[\frac{-\frac{7}{4} - 7}{-\frac{7}{4}} = \frac{-\frac{7}{4} - \frac{28}{4}}{-\frac{7}{4}} = \frac{-\frac{35}{4}}{-\frac{7}{4}} = \frac{35}{7} = 5 \checkmark\] ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowe działanie na ułamkach i przekształcenia algebraiczne (mnożenie obu stron przez tę samą liczbę). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A | Uczeń popełnia błąd znaku: zamiast \(-4x = 7\) pisze \(4x = 7\), otrzymuje \(x = \frac{7}{4} = 1{,}75 > 0\), po czym myli kierunek i wpisuje wynik do przedziału \((-\infty, -2)\) | | C | Uczeń robi błąd arytmetyczny przy przeniesieniu i otrzymuje \(x \approx -0{,}5\), co wpadałoby do \(\langle -1, 0)\) | | D | Uczeń zapomina o znaku minus przy dzieleniu przez \(-4\) i otrzymuje \(x = \frac{7}{4} = 1{,}75\), które należy do \((0, +\infty)\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez \(x\), musisz pamiętać, że **nie zmieniasz znaku nierówności** (to równanie, nie nierówność), ale kluczowe jest, żeby nie zapomnieć o warunku \(x \neq 0\) - gdyby wyszło \(x = 0\), rozwiązanie nie istnieje. > ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez ujemną liczbę \(-4\) to częste miejsce błędu - \(-4x = 7\) daje \(x = -\frac{7}{4}\), a **nie** \(x = \frac{7}{4}\). Zawsze sprawdź znak! > ⚠️ **Uwaga:** Warto szybko sprawdzić wynik numerycznie: \(-\frac{7}{4} = -1{,}75\), co leży między \(-2\) a \(-1\) - wystarczy porównać z brzegami przedziałów bez skomplikowanych obliczeń. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik \[\dfrac{x-7}{x} = 5 \Rightarrow x - 7 = 5x \Rightarrow -7 = 4x \Rightarrow x = -\dfrac{7}{4} = -1{,}75.\] Liczba \(-1{,}75\) należy do przedziału \(\langle -2, -1 \rangle\). ✓ ### Sposób 2 - Przekształcenie postaci \[\dfrac{x-7}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{7}{x} = 1 - \dfrac{7}{x} = 5.\] \[-\dfrac{7}{x} = 4 \Rightarrow \dfrac{7}{x} = -4 \Rightarrow x = -\dfrac{7}{4}.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \((-\infty, -2)\)** - \(-1{,}75 > -2\), więc nie należy. - **C. \(\langle -1, 0)\)** - \(-1{,}75 < -1\), więc nie należy. - **D. \((0, +\infty)\)** - rozwiązanie jest ujemne. **Uwaga:** sprawdź czy \(x \ne 0\) - tak, \(-1{,}75 \ne 0\). ✓ ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/8) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F8) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia. - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_