# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2016 (podstawowa)
- rok: 2016
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Funkcja f określona jest wzorem
( )
3
4
2
1
x
f x
x
dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba
(
)
2
f -
jest równa
A.
8
5
B.
4 2
3
C.
4 2
5
D.
4
3
Funkcja f określona jest wzorem f(x) = 2x^3 / x^4+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba f(-√2) jest równa A. -8/5; B. -4√2/3; C. -4√2/5; D. -4/3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\(-\dfrac{4\sqrt{2}}{5}\)

## Sposób 1 - Podstawienie wartości krok po kroku

Mamy daną funkcję:
\[f(x) = \frac{2x^3}{x^4 + 1}\]

Podstawiamy \(x = -\sqrt{2}\).

**Krok 1: Oblicz \(x^3\)**

\[(-\sqrt{2})^3 = (-1)^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = -1 \cdot 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2}\]

bo \((\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2}\).

**Krok 2: Oblicz \(x^4\)**

\[(-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4\]

(czwarta potęga liczby ujemnej jest dodatnia).

**Krok 3: Podstaw do wzoru**

\[f(-\sqrt{2}) = \frac{2 \cdot (-2\sqrt{2})}{4 + 1} = \frac{-4\sqrt{2}}{5}\]

**Wynik:** \(\boxed{f(-\sqrt{2}) = -\dfrac{4\sqrt{2}}{5}}\)

## Sposób 2 - Weryfikacja przez uproszczenie potęg \(\sqrt{2}\)

Zamiast liczyć \((-\sqrt{2})^3\) i \((-\sqrt{2})^4\) osobno, użyjemy faktu że \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\):

\[(-\sqrt{2})^3 = -(2^{1/2})^3 = -2^{3/2} = -2 \cdot 2^{1/2} = -2\sqrt{2}\]

\[(-\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4\]

Zatem:
\[f(-\sqrt{2}) = \frac{2 \cdot (-2\sqrt{2})}{4 + 1} = \frac{-4\sqrt{2}}{5}\]

Wynik ten samy - odpowiedź C potwierdzona.

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:
\[(a^r)^s = a^{r \cdot s}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 przy obliczaniu \((2^{1/2})^3 = 2^{3/2}\) i \((2^{1/2})^4 = 2^2\).

Poza tym zadanie to czyste podstawianie - żadnych innych wzorów z karty nie potrzebujemy.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A. \(-\dfrac{8}{5}\) | Zapomniano o \(\sqrt{2}\) w liczniku - obliczono \(2 \cdot (-2)^3 / 5\) zamiast z \(-\sqrt{2}\), lub wyliczono \((-\sqrt{2})^3 = -4\) (błąd: \(\sqrt{2}^3 \neq 2\cdot2\)) |
| B. \(-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\) | Błędnie policzono mianownik: \((-\sqrt{2})^4 = 2\) zamiast \(4\) (np. \((\sqrt{2})^4 = \sqrt{2}\cdot2 = 2\sqrt{2}\) i ucięto) - mianownik wychodzi \(2+1=3\) |
| D. \(-\dfrac{4}{3}\) | Podwójny błąd: zgubiono \(\sqrt{2}\) z licznika ORAZ wzięto mianownik \(3\) zamiast \(5\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \((-\sqrt{2})^3\) jest **ujemne** - przy nieparzystej potędze znak się zachowuje. \((-\sqrt{2})^4\) jest **dodatnie** - parzysta potęga zawsze daje wynik nieujemny.

> ⚠️ **Uwaga:** \((\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}\), **nie** \(2\) ani \(2\sqrt{2}^2\). Pamiętaj: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2\cdot\sqrt{2}\).

> ⚠️ **Uwaga:** W mianowniku mamy \(x^4 + 1\), nie \(x^4 - 1\) ani \((x^2+1)^2\). Nie upraszczaj pochopnie - najpierw podstaw, potem licz.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie
Obliczamy \(f(-\sqrt{2})\):
- licznik: \(2\cdot(-\sqrt{2})^3 = 2\cdot(-2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}\)
- mianownik: \((-\sqrt{2})^4 + 1 = 4 + 1 = 5\)

Zatem:
\[f(-\sqrt{2}) = \dfrac{-4\sqrt{2}}{5} = -\dfrac{4\sqrt{2}}{5}.\]

### Sposób 2 - Obliczenie krok po kroku
\((-\sqrt{2})^2 = 2\), \((-\sqrt{2})^3 = (-\sqrt{2})^2\cdot(-\sqrt{2}) = 2\cdot(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}\).
\((-\sqrt{2})^4 = ((-\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4\).
Stąd \(f(-\sqrt{2}) = \dfrac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} = \dfrac{-4\sqrt{2}}{5}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-\tfrac{8}{5}\)** - ktoś pomylił się przy obliczaniu \(2\sqrt{2}\cdot 2\).
- **B. \(-\tfrac{4\sqrt{2}}{3}\)** - zły mianownik (\(4 - 1\) zamiast \(4 + 1\)).
- **D. \(-\tfrac{4}{3}\)** - zły licznik i mianownik.

**Trik:** dla \(x = -\sqrt{2}\) pamiętaj: \(x^2 = 2\), \(x^3 = -2\sqrt{2}\), \(x^4 = 4\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-163%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_