# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 1. (0-1)
Liczba 9
2
4 7
jest równa
A. 4
B. 10
C.
10
D.
4
Liczba |9-2| - |4-7| jest równa A. 4, B. 10, C. -10, D. -4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (4)

## Sposób 1 - Od środka na zewnątrz (kolejność działań)

Wyrażenie \(\big||9-2|-|4-7|\big|\) ma zagnieżdżone wartości bezwzględne - zaczynamy od **najbardziej wewnętrznych** nawiasów.

**Krok 1:** Oblicz wyrażenia wewnątrz każdej wartości bezwzględnej:
\[9 - 2 = 7 \qquad 4 - 7 = -3\]

**Krok 2:** Zastosuj wartość bezwzględną do każdego z nich:
\[|9 - 2| = |7| = 7 \qquad |4 - 7| = |-3| = 3\]

**Krok 3:** Odejmij wyniki:
\[|9-2| - |4-7| = 7 - 3 = 4\]

**Krok 4:** Zastosuj zewnętrzną wartość bezwzględną:
\[\big|7 - 3\big| = |4| = \mathbf{4}\]

**Wynik: \(4\)**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład z definicji

Sprawdzamy, że na każdym etapie stosujemy definicję poprawnie: \(|x| = x\) gdy \(x \geq 0\), oraz \(|x| = -x\) gdy \(x < 0\).

- \(9 - 2 = 7 > 0\), więc \(|7| = 7\) ✓
- \(4 - 7 = -3 < 0\), więc \(|-3| = -(-3) = 3\) ✓
- \(7 - 3 = 4 > 0\), więc \(|4| = 4\) ✓

Wynik potwierdza: \(\big||9-2|-|4-7|\big| = 4\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - definicja:
\[|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geq 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}\]

Użyliśmy jej w Kroku 2 (do \(|-3| = 3\)) i w Kroku 4 (do \(|4| = 4\)).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B (\(10\)) | Dodano zamiast odjąć: \(7 + 3 = 10\) - pominięto znak minus między wartościami bezwzględnymi |
| C (\(-10\)) | Jak wyżej, a dodatkowo zignorowano zewnętrzną wartość bezwzględną: \(-(7+3) = -10\) |
| D (\(-4\)) | Poprawnie obliczono \(7 - 3 = 4\), ale **zignorowano zewnętrzną** \(|\cdot|\) i przyjęto \(-4\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna **zawsze daje wynik nieujemny** - odpowiedzi C i D (\(-10\), \(-4\)) można od razu odrzucić, bo \(|\ldots| \geq 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zagnieżdżone wartości bezwzględne rozwijamy **od środka na zewnątrz** - najpierw liczymy to, co jest najgłębiej w nawiasach, dopiero potem zewnętrzną \(|\cdot|\).

> ⚠️ **Uwaga:** \(|4 - 7| \neq |4| - |7|\) - wartość bezwzględna różnicy to **nie** różnica wartości bezwzględnych! Zawsze najpierw licz różnicę, potem bierz \(|\cdot|\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku
Liczymy wnętrza wartości bezwzględnych:
- \(|9-2| = |7| = 7\),
- \(|4-7| = |-3| = 3\).

Zatem:
\[\big||9-2|-|4-7|\big| = |7 - 3| = |4| = 4.\]

### Sposób 2 - Pamiętaj: \(|a|\) jest zawsze nieujemne
Skoro wynik jest wartością bezwzględną, musi być \(\geq 0\). Wyklucza to od razu C i D.
Obliczamy różnicę \(7-3 = 4\) - odpowiedź A.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(10\)** - błąd: zsumowano \(7+3\) zamiast odjąć.
- **C. \(-10\)** - błąd jak w B + zaniedbanie zewnętrznej wartości bezwzględnej.
- **D. \(-4\)** - pominięto zewnętrzną wartość bezwzględną (wynik musi być \(\geq 0\)).

**Trik:** zewnętrzny moduł **zawsze** daje liczbę nieujemną - błyskawicznie odrzuć odpowiedzi ujemne.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Liczba √5√5 jest równa A. 5 1 4 B. 5 1 2 C. 5 3 4 D. 5
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/5) — Zadanie 5. (0-1) Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D. Wyrażenie √8
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2308/zad/6) — \(3^{-1}\) Wartość wyrażenia -2 ∙81 jest równa (-[1] 9 ) A.[1] B. C. 3 D. (-3) 3 (- \(3^{1}\) ) A. \(\dfrac{1}{3}\) B. \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)\) C. \(3\) D
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Rozważamy przedziały liczbowe (-∞, 5) i ⟨-1, +∞). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedział

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_