# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 10. (0-1)
Równanie (
)(
)
2
3
25
0
x x
x
ma dokładnie
A. cztery rozwiązania:
0
x =
,
3
x =
,
5
x =
,
5
x = -
B. trzy rozwiązania:
3
x =
,
5
x =
,
5
x
C. dwa rozwiązania:
0
x =
,
3
x =
D. jedno rozwiązanie:
3
x =
Równanie x(x-3)(x^2+25)=0 ma dokładnie A. cztery rozwiązania: x=0, x=3, x=5, x=-5. B. trzy rozwiązania: x=3, x=5, x=-5. C. dwa rozwiązania: x=0, x=3. D. jedno rozwiązanie: x=3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Równanie \(x(x-3)(x^2+25) = 0\) ma dokładnie **dwa rozwiązania rzeczywiste**: \(x = 0\) i \(x = 3\).

## Sposób 1 - Analiza czynników iloczynu

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **przynajmniej jeden czynnik jest równy zero**.

Mamy trzy czynniki: \(x\), \((x-3)\) oraz \((x^2+25)\).

**Czynnik 1:** \(x = 0\) ✓

**Czynnik 2:**
\[x - 3 = 0 \implies x = 3\] ✓

**Czynnik 3:**
\[x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = -25\]

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, czyli \(x^2 \geq 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\). Zatem \(x^2 = -25\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.

**Odpowiedź: równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: \(x = 0\) oraz \(x = 3\).**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, że \(x = 0\) i \(x = 3\) rzeczywiście spełniają równanie, a \(x = 5\) i \(x = -5\) nie.

**Dla \(x = 0\):**
\[0 \cdot (0-3) \cdot (0^2 + 25) = 0 \cdot (-3) \cdot 25 = 0\] ✓

**Dla \(x = 3\):**
\[3 \cdot (3-3) \cdot (3^2 + 25) = 3 \cdot 0 \cdot 34 = 0\] ✓

**Dla \(x = 5\):**
\[5 \cdot (5-3) \cdot (5^2+25) = 5 \cdot 2 \cdot 50 = 500 \neq 0\] ✗

**Dla \(x = -5\):**
\[(-5) \cdot (-5-3) \cdot ((-5)^2+25) = (-5) \cdot (-8) \cdot 50 = 2000 \neq 0\] ✗

Potwierdzamy: tylko \(x = 0\) i \(x = 3\) są rozwiązaniami.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu (iloczyn = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik = 0) oraz fakt, że \(x^2 \geq 0\) dla \(x \in \mathbb{R}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń "rozłożył" \(x^2 + 25 = 0\) jak \(x^2 - 25 = 0\), dostając \(x = \pm 5\). Pomylił \(+25\) z \(-25\). |
| B | Jak wyżej - przyjął \(x = \pm 5\) jako rozwiązania, ale dodatkowo pominął \(x = 0\). |
| D | Pominął czynnik \(x\), widząc tylko \((x-3) = 0\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^2 + 25 = 0\) to **nie to samo** co \(x^2 - 25 = 0\)! Wyrażenie \(x^2 + 25\) jest zawsze dodatnie (bo \(x^2 \geq 0\) i dodajemy 25), więc nigdy nie daje rozwiązań rzeczywistych.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie "skracaj" równania przez \(x\) - jeśli podzielisz obie strony przez \(x\), tracisz rozwiązanie \(x = 0\). Zawsze analizuj każdy czynnik osobno.

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie algebraiczne stopnia 4 może mieć od 0 do 4 rozwiązań **rzeczywistych** - nie zakładaj z góry, że musi być ich dokładnie 4.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Iloczyn zerowy
Iloczyn jest równy zero, gdy **któryś** z czynników jest zerem:
- \(x = 0\) ✓
- \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) ✓
- \(x^2 + 25 = 0 \Rightarrow x^2 = -25\) - **brak rozwiązań rzeczywistych** (kwadrat nie jest ujemny).

Dwa rozwiązania: \(x = 0\), \(x = 3\).

### Sposób 2 - Analiza wyróżnika dla \(x^2 + 25\)
\(\Delta = 0 - 4\cdot 1\cdot 25 = -100 < 0\) - brak miejsc zerowych. Zostają tylko \(x=0\) i \(x=3\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Błędne: \(x^2 + 25 = 0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc \(\pm 5\) nie są pierwiastkami.
- **B.** Jak w A, pomija \(x = 0\).
- **D.** Pominięto \(x = 0\).

**Trik:** \(x^2 + k\) dla \(k > 0\) **nigdy** nie zeruje się w liczbach rzeczywistych. Uważaj na znak!

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_