# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje, funkcja kwadratowa

## Treść

Zadanie 11. (0-1)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
(
)(
)
( )
3
7
f x
x
x
. Wierzchołek paraboli
będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu
A.
5
y = -
B.
5
y =
C.
4
y = -
D.
4
y =

MPO_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x-3)(7-x). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej o równaniu A. y=-5; B. y=5; C. y=-4; D. y=4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(y = 4\)

## Sposób 1 - Wzór na wierzchołek przez postać kanoniczną

**Rozwijamy nawiasy**, żeby dostać postać ogólną:
\[f(x) = (x-3)(7-x) = 7x - x^2 - 21 + 3x = -x^2 + 10x - 21\]

Mamy \(a = -1\), \(b = 10\), \(c = -21\).

**Wyznaczamy współrzędną \(x\) wierzchołka:**
\[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5\]

**Wyznaczamy współrzędną \(y\) wierzchołka** - podstawiamy \(x = 5\) do wzoru:
\[q = f(5) = (5-3)(7-5) = 2 \cdot 2 = 4\]

**Wierzchołek:** \(W = (5, 4)\)

Prosta \(y = 4\) to pozioma linia. Wierzchołek \(W = (5, 4)\) spełnia to równanie, bo jego rzędna wynosi \(4\).

**Odpowiedź: D**

## Sposób 2 - Wzór na \(q\) przez wyróżnik

Mamy \(a = -1\), \(b = 10\), \(c = -21\).

**Liczymy wyróżnik:**
\[\Delta = b^2 - 4ac = 100 - 4 \cdot (-1) \cdot (-21) = 100 - 84 = 16\]

**Współrzędna \(y\) wierzchołka:**
\[q = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{16}{4 \cdot (-1)} = -\frac{16}{-4} = 4\]

Wierzchołek leży na poziomie \(y = 4\), czyli na prostej \(y = 4\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**

Wierzchołek paraboli:
\[p = -\frac{b}{2a}, \qquad q = -\frac{\Delta}{4a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac\]

W Sposobie 1 użyliśmy wzoru na \(p\), a potem podstawiliśmy do funkcji.
W Sposobie 2 bezpośrednio skorzystaliśmy ze wzoru na \(q\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \(y = -5\) | Policzono \(q = f(p)\), ale jako \(f(5) = 5 - 10 = -5\) (pominięto mnożenie, zamiast \((5-3)(7-5)\) wzięto \(5 - 10\)) |
| B - \(y = 5\) | Wzięto \(p = 5\) jako rzędną wierzchołka zamiast odciętą - pomylono \(x\) z \(y\) |
| C - \(y = -4\) | Policzono \(q = -\frac{\Delta}{4a}\) ale bez minusa przed ułamkiem, dostając \(-4\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \(p\) (odcięta, \(x\) wierzchołka) z \(q\) (rzędna, \(y\) wierzchołka) - zadanie pyta o prostą \(y = \text{coś}\), więc szukamy rzędnej \(q\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \((x-3)(7-x)\) uważaj na znak - współczynnik \(a\) jest **ujemny** (\(-1\)), bo ramiona paraboli są skierowane w dół. Błąd w znaku \(a\) wywraca wszystko.

> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli nie chcesz liczyć wyróżnika, najpierw znajdź \(p = 5\) ze wzoru, a potem po prostu podstaw do oryginalnej postaci iloczynowej - \(f(5) = (5-3)(7-5)\) to szybkie i bezbłędne obliczenie.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Oś symetrii = średnia miejsc zerowych
Miejsca zerowe: \(x = 3\) i \(x = 7\). Oś symetrii: \(x_w = \dfrac{3+7}{2} = 5\).
Wartość w wierzchołku: \(f(5) = (5-3)(7-5) = 2\cdot 2 = 4\).
Wierzchołek \(W = (5, 4)\), leży na prostej \(y = 4\).

### Sposób 2 - Rozwinięcie i wzór Viète'a
\(f(x) = (x-3)(7-x) = -x^2 + 10x - 21\).
Wierzchołek: \(x_w = -\dfrac{10}{2\cdot(-1)} = 5\), \(y_w = f(5) = -25 + 50 - 21 = 4\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(y = -5\)** i **C. \(y = -4\)** - zły znak (parabola ma współczynnik \(-1\), otwarta w dół, maksimum \(> 0\)).
- **B. \(y = 5\)** - pomyłka w rachunku.

**Trik:** parabola \(f(x)=a(x-p)(x-q)\) ma oś symetrii \(x = \tfrac{p+q}{2}\) i \(y_w = f\big(\tfrac{p+q}{2}\big)\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_