# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
Punkt
(
)
2017,0
A =
należy do wykresu funkcji f określonej wzorem
A.
( )
(
)
2
2017
f x
x
B.
( )
2
2017
f x
x
C.
( )
(
)(
)
2017
2017
f x
x
x
D.
( )
2
2017
f x
x
Punkt A=(2017,0) należy do wykresu funkcji f określonej wzorem A. f(x)=(x+2017)^2; B. f(x)=x^2-2017; C. f(x)=(x+2017)(x-2017); D. f(x)=x^2+2017.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\(f(x) = (x+2017)(x-2017)\)

## Sposób 1 - Podstawienie punktu do wzoru funkcji

Jeśli punkt \(A = (2017, 0)\) należy do wykresu funkcji \(f\), to **musi zachodzić \(f(2017) = 0\)**.

Sprawdzamy każdą odpowiedź, podstawiając \(x = 2017\):

**A.** \(f(2017) = (2017 + 2017)^2 = (4034)^2 \neq 0\) ✗

**B.** \(f(2017) = 2017^2 - 2017 \neq 0\) ✗

**C.** \(f(2017) = (2017 + 2017)(2017 - 2017) = 4034 \cdot 0 = \mathbf{0}\) ✓

**D.** \(f(2017) = 2017^2 + 2017 \neq 0\) ✗

**Odpowiedź C spełnia warunek - punkt \(A = (2017, 0)\) leży na wykresie.**

## Sposób 2 - Rozpoznanie przez miejsca zerowe

Szukamy funkcji, dla której \(x = 2017\) jest **miejscem zerowym** (miejscem zerowym funkcji jest taki \(x\), dla którego \(f(x) = 0\)).

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
gdzie \(x_1, x_2\) to miejsca zerowe.

Jeśli \(x = 2017\) ma być miejscem zerowym, to jeden z czynników musi zawierać \((x - 2017)\).

Patrzymy na odpowiedzi:

- **C:** \(f(x) = (x + 2017)(x - 2017)\) - to wzór skróconego mnożenia \(x^2 - 2017^2\), czyli \(f(x) = x^2 - 2017^2\). Miejsca zerowe to \(x_1 = -2017\) i \(x_2 = 2017\). ✓

Czynnik \((x - 2017)\) pojawia się tylko w odpowiedzi **C**, co gwarantuje, że \(f(2017) = 0\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa trójmianu kwadratowego:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozpoznania miejsc zerowych funkcji.

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:
\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]
Odpowiedź C to właśnie \((x - 2017)(x + 2017) = x^2 - 2017^2\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wynik podstawienia \(x = 2017\) | Błąd |
| A | \((4034)^2 \neq 0\) | Pomylono "należy do wykresu" z "jest osią symetrii" - \(x = -2017\) to oś symetrii tej paraboli, nie miejsce zerowe |
| B | \(2017^2 - 2017 \neq 0\) | Mylne skojarzenie: "skoro \(A\) ma współrzędną \(2017\), to \(2017\) musi być w funkcji" - ale bez \((x - 2017)\) jako czynnika zero nie wyjdzie |
| D | \(2017^2 + 2017 \neq 0\) | Funkcja \(x^2 + 2017\) nie ma żadnych miejsc zerowych (zawsze \(> 0\)), więc nie może przechodzić przez punkt o \(y = 0\) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek "punkt \(A = (2017, 0)\) należy do wykresu" oznacza dokładnie tyle, że \(f(2017) = 0\). Nic więcej, nic mniej - wystarczy to podstawić!

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A kusi, bo liczba 2017 pojawia się w nawiasie - ale tam jest \((x + 2017)\), więc miejscem zerowym jest \(x = -2017\), nie \(x = 2017\). Znak ma znaczenie!

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\(x^2 + 2017\)) nigdy nie osiąga zera, bo \(x^2 \geq 0\), więc \(x^2 + 2017 \geq 2017 > 0\). Funkcja ta w ogóle nie ma miejsc zerowych.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Podstawienie \(x = 2017\)
Ma być \(f(2017) = 0\). Sprawdzamy każdą odpowiedź:
- **A.** \((2017+2017)^2 = 4034^2 \ne 0\).
- **B.** \(2017^2 - 2017 = 2017\cdot 2016 \ne 0\).
- **C.** \((2017+2017)(2017-2017) = 4034\cdot 0 = 0\) ✓
- **D.** \(2017^2 + 2017 \ne 0\).

### Sposób 2 - Analiza miejsc zerowych
Szukamy funkcji, dla której \(2017\) jest miejscem zerowym. W postaci \((x-a)(x-b)\) musi wystąpić czynnik \((x - 2017)\). Tylko odpowiedź C zawiera \((x-2017)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** \((x+2017)^2 = 0\) tylko dla \(x = -2017\).
- **B.** \(x^2 - 2017 = 0\) dla \(x = \pm\sqrt{2017}\).
- **D.** \(x^2 + 2017 > 0\) dla każdego \(x\) - nie ma miejsc zerowych.

**Trik:** gdy szukasz funkcji przechodzącej przez \((a, 0)\), wzór musi zawierać czynnik \((x - a)\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2+4 𝑥-2 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠2. Wartość funkcji 𝑓 dla argumentu 4 jest równa A. 6 B. 2 C. 1
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (1 pkt) Funkcja f jest określona wzorem ( ) 4 1 x f x + dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba 1 2 f       jest równa A. 1 2 B. 3 2 C. 3 D. 
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Punkt ( ) 2017,0 A = należy do wykresu funkcji f określonej wzorem A. ( ) ( ) 2 2017 f x x B. ( ) 2 2017 f x x C. ( ) ( )( ) 2017 2017 f x x x
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (1 pkt) Dana jest funkcja liniowa ( ) 3 6 4 f x x . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. 8 B. 6 C. 6 D. 8

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_