# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 13. (0-1)
W ciągu arytmetycznym
(
)
n
a
, określonym dla
1
≥
n
, spełniony jest warunek
3
2
1
2
1
a
a
a
+ . Różnica r tego ciągu jest równa
A. 0
B. 1
3
C. 1
2
D. 1
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek 2a_3=a_2+a_1+1. Różnica r tego ciągu jest równa A. 0; B. 1/3; C. 1/2; D. 1

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(r = \dfrac{1}{3}\)

## Sposób 1 - Podstawienie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz ma postać:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]

Wyznaczamy \(a_2\) i \(a_3\):
\[a_2 = a_1 + r\]
\[a_3 = a_1 + 2r\]

Podstawiamy do warunku \(2a_3 = a_2 + a_1 + 1\):
\[2(a_1 + 2r) = (a_1 + r) + a_1 + 1\]
\[2a_1 + 4r = 2a_1 + r + 1\]

Odejmujemy \(2a_1\) od obu stron:
\[4r = r + 1\]
\[3r = 1\]
\[r = \frac{1}{3}\]

**Różnica ciągu wynosi \(r = \dfrac{1}{3}\).**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych wartości

Sprawdzamy wynik, przyjmując np. \(a_1 = 0\) i \(r = \frac{1}{3}\):
\[a_1 = 0, \quad a_2 = \frac{1}{3}, \quad a_3 = \frac{2}{3}\]

Lewa strona warunku:
\[2a_3 = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\]

Prawa strona warunku:
\[a_2 + a_1 + 1 = \frac{1}{3} + 0 + 1 = \frac{4}{3}\]

\[\frac{4}{3} = \frac{4}{3} \checkmark\]

**Wynik potwierdzony.** Zauważ, że wartość \(a_1\) nie ma znaczenia - warunek zadania wyznacza wyłącznie różnicę \(r\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy go w Sposobie 1, żeby wyrazić \(a_2\) i \(a_3\) przez \(a_1\) i \(r\), a następnie podstawić do danego równania.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \(r = 0\) | Uczeń nie podstawia wzoru ogólnego, tylko zakłada że skoro "nic nie wiadomo o \(r\)", to \(r = 0\). Albo pomija stałą \(+1\) po prawej stronie, dostając \(4r = r\), co daje \(r=0\). |
| C. \(r = \frac{1}{2}\) | Błąd w rozwinięciu: np. \(2(a_1+2r) = 2a_1 + 2r\) zamiast \(2a_1 + 4r\) (pominięcie mnożenia przez 2 przy \(r\)). Wtedy \(2r = 1\), więc \(r = \frac{1}{2}\). |
| D. \(r = 1\) | Uczeń myśli, że skoro po prawej stronie jest \(+1\), to różnica wynosi \(1\). Bez wykonania obliczeń - zgadywanie. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu wzoru \(a_n = a_1 + (n-1)r\) uważaj na mnożenie. Łatwo napisać \(2(a_1 + 2r) = 2a_1 + 2r\) zamiast \(2a_1 + 4r\) - to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \(a_1\) w tym zadaniu **nie jest jednoznacznie wyznaczona** - warunek \(2a_3 = a_2 + a_1 + 1\) wyznacza tylko \(r\). Nie próbuj wyznaczać \(a_1\) - zadanie tego nie wymaga.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kolejności: \(a_3 = a_1 + 2r\) (nie \(a_1 + 3r\)). Trzeci wyraz to \(a_1 + (3-1)r = a_1 + 2r\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Zapis przez \(a_1\) i \(r\)
Wzór ogólny: \(a_n = a_1 + (n-1)r\). Zatem:
- \(a_2 = a_1 + r\),
- \(a_3 = a_1 + 2r\).

Warunek:
\[2(a_1 + 2r) = (a_1 + r) + a_1 + 1\]
\[2a_1 + 4r = 2a_1 + r + 1\]
\[4r - r = 1 \Rightarrow 3r = 1 \Rightarrow r = \tfrac{1}{3}.\]

### Sposób 2 - Własność ciągu arytmetycznego
W ciągu arytmetycznym \(2a_3 = a_2 + a_4\) (\(a_3\) jest średnią sąsiadów). Zadany warunek \(2a_3 = a_2 + a_1 + 1\), więc:
\[a_2 + a_4 = a_2 + a_1 + 1 \Rightarrow a_4 - a_1 = 1.\]
Ale \(a_4 - a_1 = 3r\), więc \(3r = 1\), \(r = \tfrac{1}{3}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(0\)** - wtedy \(2a_3 = 2a_1\), a \(a_2 + a_1 = 2a_1\), różnica \(1\) nie znika.
- **C. \(\tfrac{1}{2}\)** - błąd rachunkowy (np. \(2r = 1\) zamiast \(3r = 1\)).
- **D. \(1\)** - ktoś zapomniał o mnożeniu przez \(3\).

**Trik:** w ciągu arytmetycznym różnice \(a_k - a_j = (k-j)r\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_