# Matematyka — zadanie 16 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/16 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 16. (0-1) W okręgu o środku O dany jest kąt wpisany ABC o mierze ° 20 (patrz rysunek). Miara kąta CAO jest równa A. ° 85 B. ° 70 C. ° 80 D. ° 75 W okręgu o środku O dany jest kąt wpisany ABC o mierze 20° (patrz rysunek). Miara kąta CAO jest równa A. 85°; B. 70°; C. 80°; D. 75°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(70°\) ## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym **Krok 1: Wyznacz kąt środkowy AOC.** Kąt wpisany \(\angle ABC = 20°\) opiera się na tym samym łuku \(\widehat{AC}\) co kąt środkowy \(\angle AOC\). Zgodnie z twierdzeniem o kącie środkowym i wpisanym: \[\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 20° = 40°\] **Krok 2: Skorzystaj z faktu, że trójkąt OAC jest równoramienny.** \(OA = OC = r\) (obydwa to promienie okręgu), więc trójkąt \(OAC\) jest **równoramienny**. **Krok 3: Wyznacz kąt CAO z sumy kątów w trójkącie.** \[\angle CAO + \angle CAO + \angle AOC = 180°\] \[2 \cdot \angle CAO + 40° = 180°\] \[2 \cdot \angle CAO = 140°\] \[\boxed{\angle CAO = 70°}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez kąty w trójkącie OAC Z równoramienności trójkąta \(OAC\) (ramiona \(OA = OC = r\)) wynika: \[\angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - \angle AOC}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = \frac{140°}{2} = 70°\] Sprawdzenie: \(70° + 70° + 40° = 180°\) ✓ Kąt \(CAO\) to właśnie \(\angle OAC = 70°\) - zgodnie z Odpowiedzią B. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: > Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. \[\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\] Użyliśmy tego w Kroku 1, by wyznaczyć kąt środkowy \(\angle AOC = 40°\). Następnie skorzystaliśmy z własności trójkąta równoramiennego (dział 10, s. 15) - suma kątów trójkąta wynosi \(180°\), a dwa kąty przy podstawie są równe. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A: \(85°\) | **Podzielono** kąt wpisany przez 2 zamiast pomnożyć: \(\angle AOC = 10°\), a potem \(\frac{180°-10°}{2} = 85°\) - odwrotne zastosowanie twierdzenia | | C: \(80°\) | **Pominięto** twierdzenie o kącie środkowym i przyjęto \(\angle AOC = 20°\) (takie samo jak kąt wpisany), stąd \(\frac{180°-20°}{2} = 80°\) | | D: \(75°\) | Mylne uznanie, że \(\angle AOC = 30°\) (np. przez pomieszanie z innym trójkątem lub błędne odczytanie kąta z rysunku) | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie mówi: kąt środkowy = **2 × kąt wpisany**, nie odwrotnie. Łatwo pomylić kierunek - zapamiętaj: środkowy jest **większy**. > ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \(OAC\) jest równoramienny (nie równoboczny!). Kąty przy podstawie \(AC\) są równe - to \(\angle OAC = \angle OCA\), a **nie** wszystkie trzy kąty. > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\angle AOC\) to kąt środkowy odpowiadający łukowi \(\widehat{AC}\) **nie zawierającemu** punktu \(B\). Upewnij się, że czytasz właściwy łuk z rysunku. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym Kąt wpisany \(\angle ABC = 20°\) oparty na łuku \(AC\). Kąt środkowy \(\angle AOC\) oparty na tym samym łuku jest dwukrotnie większy: \[\angle AOC = 2\cdot 20° = 40°.\] Trójkąt \(AOC\) jest **równoramienny** (\(|OA| = |OC|\) - promienie), więc: \[\angle CAO = \angle OCA = \dfrac{180° - 40°}{2} = \dfrac{140°}{2} = 70°.\] ### Sposób 2 - Kroki z karty wzorów Karta: "kąt środkowy = 2 × kąt wpisany oparty na tym samym łuku". Stąd \(\angle AOC = 40°\), a pozostałe kąty w trójkącie \(AOC\) (równoramiennym) wynoszą \(\tfrac{180°-40°}{2} = 70°\) każdy. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(85°\)** - ktoś obliczył \(\tfrac{180°-10°}{2}\) (błędny kąt środkowy). - **C. \(80°\)** - ktoś pomylił kąt środkowy z \(\tfrac{1}{2}\cdot 20°\) i obliczył niepoprawnie. - **D. \(75°\)** - zły rachunek \(\tfrac{180°-30°}{2}\). **Trik:** w trójkącie promienie-cięciwa zawsze równoramienny - zapamiętaj! ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/16) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F16) ## Podobne zadania - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Równoległobok ABCD zbudowano z czterech przystających trójkątów prostokątnych (patrz rysunek). Boki równoległoboku mają długości |AB| = 24 cm - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny oraz kwadrat mają równe pola. Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia. x OMAP-100- - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/16) — Zadanie 16. (0-2) Prostokąt ABCD o wymiarach 7 cm i 8 cm rozcięto wzdłuż prostej a na dwa trapezy tak, jak pokazano na rysunku. Odcinek CL ma długość 3,2 cm. Po - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Punkt 𝐾 jest punktem przecięcia cięciwy 𝐴𝐶 i średnicy 𝐵𝐷. Kąt 𝐶𝑂𝐵 jest prosty, a ką _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_