# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria, planimetria

## Treść

Zadanie 17. (0-1)
Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym
przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3.
Wówczas miara ϕ kąta DBC spełnia warunek
A. 20
25
ϕ
° <
<
°
B. 25
ϕ
° <
< 30°
C. 30
35
ϕ
° <
<
°
D. 35
40
ϕ
° <
<
°
3
5
φ
A
B
C
D

MPO_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Odcinek BD jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego ABC trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 5 i 3. Wówczas miara φ kąta DBC spełnia warunek A. 20° < φ < 25°; B. 25° < φ < 30°; C. 30° < φ < 35°; D. 35° < φ < 40°;

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(25° < \varphi < 30°\)

## Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie kąta ABC i jego połowy

**Kluczowa obserwacja:** Skoro \(BD\) leży na dwusiecznej kąta \(ABC\), to \(BD\) dzieli kąt \(ABC\) na dwie równe części. Stąd:
\[\varphi = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2}\]

Zadanie sprowadza się do wyznaczenia kąta \(\angle ABC\) w trójkącie prostokątnym.

**Krok 1: Wyznacz \(\angle ABC\).**

W trójkącie prostokątnym z kątem prostym przy \(C\):
\[\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\]

**Krok 2: Oceń wartość \(\arctan\!\left(\tfrac{5}{3}\right)\) korzystając z tablicy wartości.**

Z tablicy (karta CKE, s. 34) lub wartości znanych:
\[\operatorname{tg}(58°) \approx 1{,}600 \qquad \operatorname{tg}(59°) \approx 1{,}664 \qquad \operatorname{tg}(60°) \approx 1{,}732\]

Ponieważ \(\frac{5}{3} \approx 1{,}667 > \operatorname{tg}(59°)\), to:
\[\angle ABC \approx 59°\]

**Krok 3: Oblicz \(\varphi\).**

\[\varphi = \frac{\angle ABC}{2} \approx \frac{59°}{2} \approx 29{,}5°\]

**Zatem \(25° < \varphi < 30°\) - odpowiedź B.**

## Sposób 2 - Wzór na tangens połowy kąta

**Krok 1: Wyznacz boki trójkąta.**

Z twierdzenia Pitagorasa:
\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\]

**Krok 2: Wyznacz sinus i cosinus kąta \(B\).**

\[\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{\sqrt{34}}, \qquad \cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}}\]

**Krok 3: Użyj wzoru na tangens połowy kąta.**

\[\operatorname{tg}\!\left(\frac{\angle ABC}{2}\right) = \frac{\sin(\angle ABC)}{1 + \cos(\angle ABC)} = \frac{\dfrac{5}{\sqrt{34}}}{1 + \dfrac{3}{\sqrt{34}}} = \frac{5}{\sqrt{34} + 3}\]

Ponieważ \(\sqrt{34} \approx 5{,}831\):
\[\operatorname{tg}(\varphi) = \frac{5}{5{,}831 + 3} = \frac{5}{8{,}831} \approx 0{,}566\]

**Krok 4: Porównaj z tablicą.**

\[\operatorname{tg}(29°) \approx 0{,}554 \qquad \operatorname{tg}(29{,}5°) \approx 0{,}566 \qquad \operatorname{tg}(30°) \approx 0{,}577\]

Wynika stąd, że \(\varphi \approx 29{,}5°\), czyli **\(25° < \varphi < 30°\)** - odpowiedź B.

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:
\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwprostokątna do } \alpha}{\text{przyprostokątna przy } \alpha} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{3}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \(\angle ABC\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[AB^2 = AC^2 + BC^2 = 25 + 9 = 34 \implies AB = \sqrt{34}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia boków.

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór na tangens połowy kąta (wynikający z jedynki trygonometrycznej):
\[\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 zamiast dzielenia wartości kąta.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd | Co daje |
| A \((20°\!-\!25°)\) | Zamiana nóg: \(\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{3}{5}\) - wzięcie krótszej przyprostokątnej zamiast dłuższej | \(\angle ABC \approx 31°\), \(\varphi \approx 15{,}5°\) - poniżej wszystkich zakresów |
| C \((30°\!-\!35°)\) | Uznanie, że \(\varphi\) to cały kąt \(A\) w trójkącie: \(\operatorname{tg}(\angle BAC) = \frac{3}{5}\), więc \(\angle BAC \approx 31°\) - bez dalszego podziału | \(\varphi \approx 31°\) - blisko C, ale błędna interpretacja |
| D \((35°\!-\!40°)\) | Błędne „dzielenie tangensa" zamiast kąta: \(\operatorname{tg}(\varphi) \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}\) | \(\varphi = \arctan\!\tfrac{5}{6} \approx 39{,}8°\) - popada w zakres D |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Dwusieczna dzieli **kąt** na dwie równe części - nie dziel tangensa przez 2! Prawidłowo: \(\varphi = \frac{\angle ABC}{2}\), a nie \(\operatorname{tg}(\varphi) = \frac{\operatorname{tg}(\angle ABC)}{2}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj, który kąt jest kątem \(\angle ABC\)! Kąt przy wierzchołku \(B\) ma po przeciwnej stronie bok \(AC = 5\), a przy nim bok \(BC = 3\). Stąd \(\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{5}{3}\), nie \(\frac{3}{5}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba dokładnie wyliczyć kąta - wystarczy go zawęzić do jednego przedziału 5-stopniowego. Użyj tablicy wartości trygonometrycznych z karty CKE (s. 34) i sprawdź między którymi stopniami leży szukana wartość.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Tangens kąta \(ABC\)
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) z kątem prostym w \(C\):
\[\mathrm{tg}(\angle ABC) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}667.\]
Z tablic: \(\angle ABC \approx 59{,}04°\).

Dwusieczna dzieli kąt na pół:
\[\varphi = \dfrac{\angle ABC}{2} \approx \dfrac{59{,}04°}{2} \approx 29{,}52°.\]
Zatem \(25° < \varphi < 30°\).

### Sposób 2 - Oszacowanie granic
Sprawdzamy \(\mathrm{tg}(50°) \approx 1{,}19\) i \(\mathrm{tg}(60°) \approx 1{,}73\). Skoro \(\tfrac{5}{3} \approx 1{,}667\), to \(50° < \angle ABC < 60°\), czyli \(25° < \varphi < 30°\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Wymagałoby \(\angle ABC < 50°\), a wtedy \(\mathrm{tg} < 1{,}19 < \tfrac{5}{3}\) - sprzeczność.
- **C.** Wymagałoby \(\angle ABC > 60°\), wtedy \(\mathrm{tg} > 1{,}73 > \tfrac{5}{3}\) - sprzeczność.
- **D.** Jak C, tylko silniej.

**Trik:** dwusieczna kąta zawsze dzieli go na pół - najważniejsze jest oszacowanie kąta za pomocą tangensa.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-4) Rozwiąż równanie 3 sin2 𝑥-sin2(2𝑥) = 0 w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) Rozwiąż równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 11. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana lic
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-probna-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-4) Rozwiąż równanie: sin (𝑥+ 1 4 𝜋) ⋅cos (𝑥+ 1 4 𝜋) = √2 4 EMAP-R0_100 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 7. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana l

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_