# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

## Treść

Zadanie 18. (0-1)
Prosta przechodząca przez punkt
(
)
10,5
A = -
i początek układu współrzędnych jest
prostopadła do prostej o równaniu
A.
2
4
y
x
B.
1
2
y
x
C.
1
1
2
y
x
D.
2
4
y
x
Prosta przechodząca przez punkt A=(-10,5) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu A. y=-2x+4; B. y=1/2x; C. y=-1/2x+1; D. y=2x-4.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

## Sposób 1 - Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej przez A i O, potem warunek prostopadłości

**Krok 1. Wyznacz prostą przechodzącą przez \(A = (-10, 5)\) i początek \(O = (0, 0)\).**

Współczynnik kierunkowy tej prostej:
\[a = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \frac{5 - 0}{-10 - 0} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2}\]

Prosta ta ma równanie \(y = -\frac{1}{2}x\).

**Krok 2. Zastosuj warunek prostopadłości.**

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\):
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]
\[\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot a_2 = -1\]
\[a_2 = 2\]

**Krok 3. Sprawdź, która odpowiedź ma współczynnik kierunkowy równy \(2\).**

Odpowiedź D: \(y = 2x - 4\) - współczynnik kierunkowy wynosi \(\mathbf{2}\). ✓

## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie wszystkich odpowiedzi

Obliczamy iloczyn współczynnika kierunkowego prostej \(OA\) (czyli \(-\frac{1}{2}\)) ze współczynnikiem każdej odpowiedzi:

| Odpowiedź | Wzór | Współczynnik | Iloczyn z \(-\frac{1}{2}\) | Prostopadłe? |
| A | \(y = -2x + 4\) | \(-2\) | \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-2) = 1\) | ✗ |
| B | \(y = \frac{1}{2}x\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}\) | ✗ |
| C | \(y = -\frac{1}{2}x + 1\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}\) | ✗ |
| **D** | \(y = 2x - 4\) | \(2\) | \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2 = -1\) | **✓** |

Tylko D spełnia warunek prostopadłości.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:
\[a_1 \cdot a_2 = -1\]
gdzie \(a_1, a_2\) to współczynniki kierunkowe prostych (w postaci \(y = ax + b\)).

Użyliśmy tego wzoru w kroku 2 Sposobu 1, żeby wyznaczyć wymagany współczynnik kierunkowy.

Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty:
\[a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\]

Użyliśmy go w kroku 1 do wyznaczenia nachylenia prostej \(OA\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń myli warunek prostopadłości z równoległością - bierze odwrotność \(\frac{1}{2}\), ale ze złym znakiem, dostając \(-2\) zamiast \(+2\) |
| B | Uczeń przepisuje współczynnik prostej \(OA\) bez zmiany znaku, dostając \(\frac{1}{2}\) zamiast \(2\) |
| C | Uczeń myśli, że prosta prostopadła to ta sama prosta z innym wyrazem wolnym - ignoruje potrzebę odwrócenia i zmiany znaku |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \(a_1 \cdot a_2 = -1\), **nie** \(a_1 = a_2\) (to by była równoległość). Często uczniowie mylą te dwa warunki.

> ⚠️ **Uwaga:** Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej, robimy **odwrotność i zmianę znaku**: ze współczynnika \(-\frac{1}{2}\) dostajemy \(\frac{1}{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) = 2\). Można też po prostu rozwiązać równanie \(\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot a_2 = -1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o prostą **prostopadłą do** \(OA\) - nie o samą prostą \(OA\). Nie sprawdzaj, czy podane proste przechodzą przez \(A\) lub \(O\)!

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i warunek prostopadłości
Prosta przez \((0,0)\) i \((-10, 5)\) ma współczynnik \(a_1 = \dfrac{5-0}{-10-0} = -\dfrac{1}{2}\).

Warunek prostopadłości: \(a_1\cdot a_2 = -1\), więc \(a_2 = 2\).
Tylko odpowiedź **D. \(y = 2x - 4\)** ma współczynnik \(2\).

### Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi
Współczynniki: A: \(-2\), B: \(\tfrac{1}{2}\), C: \(-\tfrac{1}{2}\), D: \(2\).
Iloczyn z \(-\tfrac{1}{2}\): A: \(1\), B: \(-\tfrac{1}{4}\), C: \(\tfrac{1}{4}\), D: \(-1\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-2\)** - iloczyn \(= 1\), nie \(-1\).
- **B. \(\tfrac{1}{2}\)** - iloczyn \(= -\tfrac{1}{4}\).
- **C. \(-\tfrac{1}{2}\)** - to prosta równoległa, nie prostopadła.

**Trik:** prostopadłość = iloczyn współczynników kierunkowych \(= -1\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_