# Matematyka — zadanie 19 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/19 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej ## Treść Zadanie 19. (0-1) Punkty ( ) 21,11 A = - i ( ) 3,17 B = są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A B ′ ′ . Środkiem odcinka A B ′ ′ jest punkt o współrzędnych A. ( ) 9, 14 B. ( ) 9,14 C. ( ) 9, 14 D. ( ) 9,14 Punkty A=(-21,11) i B=(3,17) są końcami odcinka AB. Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi Ox układu współrzędnych jest odcinek A'B'. Środkiem odcinka A'B' jest punkt o współrzędnych A. (-9,-14); B. (-9,14); C. (9,-14); D. (9,14). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \((-9, -14)\) ## Sposób 1 - symetria względem osi \(Ox\), potem wzór na środek **Krok 1: Znajdź obrazy punktów \(A\) i \(B\) w symetrii względem osi \(Ox\).** Symetria względem osi \(Ox\) zmienia znak współrzędnej \(y\), a \(x\) pozostaje bez zmian: \[(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } Ox} (x, -y)\] Zatem: \[A = (-21, 11) \implies A' = (-21, -11)\] \[B = (3, 17) \implies B' = (3, -17)\] **Krok 2: Wyznacz środek odcinka \(A'B'\).** Ze wzoru na środek odcinka: \[S = \left(\frac{x_{A'} + x_{B'}}{2},\ \frac{y_{A'} + y_{B'}}{2}\right)\] \[S = \left(\frac{-21 + 3}{2},\ \frac{-11 + (-17)}{2}\right) = \left(\frac{-18}{2},\ \frac{-28}{2}\right) = (-9, -14)\] **Odpowiedź: \((-9, -14)\)** ## Sposób 2 - najpierw środek \(AB\), potem symetria Zamiast przekształcać dwa punkty, można najpierw znaleźć środek oryginalnego odcinka \(AB\), a potem zastosować symetrię. **Krok 1: Środek odcinka \(AB\).** \[S_{AB} = \left(\frac{-21 + 3}{2},\ \frac{11 + 17}{2}\right) = \left(\frac{-18}{2},\ \frac{28}{2}\right) = (-9, 14)\] **Krok 2: Symetria środka względem osi \(Ox\).** Środek obrazu odcinka = obraz środka odcinka (symetria zachowuje środki): \[(-9, 14) \xrightarrow{\text{sym. } Ox} (-9, -14)\] Ten sposób jest szybszy - wystarczy przekształcić **jeden punkt** zamiast dwóch. ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka: \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] Użyliśmy go do wyznaczenia środka odcinka \(A'B'\) (Sposób 1) i środka \(AB\) (Sposób 2). Symetria względem osi \(Ox\) to podstawowa definicja geometryczna (nie wymaga wzoru z karty) - zamieniamy \((x, y)\) na \((x, -y)\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | **B** \((-9, 14)\) | Obliczono środek oryginalnego odcinka \(AB\), ale **zapomniano zastosować symetrię** - to jest \(S_{AB}\), nie \(S_{A'B'}\) | | **C** \((9, -14)\) | Zmieniono znak **obu** współrzędnych - to byłaby symetria względem **początku układu**, nie osi \(Ox\) | | **D** \((9, 14)\) | Wzięto środek oryginalnego \(AB\) i dodatkowo zmieniono znak \(x\) - błąd mieszany: ani symetria, ani środek | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \(Ox\) zmienia **tylko** współrzędną \(y\) (na przeciwną). Symetria względem osi \(Oy\) zmienia tylko \(x\). Łatwo je pomylić pod presją czasu! > ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B to środek **oryginalnego** odcinka \(AB\) - klasyczna pułapka, gdy uczeń zapomni o wykonaniu symetrii przed liczeniem środka. > ⚠️ **Uwaga:** Kolejność działań nie ma znaczenia dla wyniku (Sposób 1 i 2 dają ten sam wynik), ale Sposób 2 jest szybszy - **zapamiętaj**: obraz środka = środek obrazu przy każdym przekształceniu izometrycznym. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Najpierw środek, potem symetria Środek \(AB\): \(\left(\dfrac{-21+3}{2}, \dfrac{11+17}{2}\right) = (-9, 14)\). Symetria względem osi \(Ox\): \((x, y) \mapsto (x, -y)\). Środek \(A'B'\): \((-9, -14)\). ### Sposób 2 - Najpierw symetria, potem środek \(A' = (-21, -11)\), \(B' = (3, -17)\). Środek: \(\left(\dfrac{-21+3}{2}, \dfrac{-11-17}{2}\right) = (-9, -14)\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \((-9, 14)\)** - to środek \(AB\) (bez zastosowania symetrii). - **C. \((9, -14)\)** - ktoś pomylił znak \(x\). - **D. \((9, 14)\)** - błędny znak \(x\) i pominięta symetria. **Trik:** symetria względem \(Ox\) zmienia tylko znak \(y\). Symetria "komutuje" ze środkiem - można ją zastosować do środka. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/19) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F19) ## Podobne zadania - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_