# Matematyka — zadanie 2 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/2 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Układy równań ## Treść Zadanie 2. (0-1) Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a jest równe 10% liczby b. Stąd wynika, że b jest równe A. 9 B. 18 C. 45 D. 50 Iloczyn dodatnich liczb a i b jest równy 1350. Ponadto 15% liczby a jest równe 10% liczby b. Stąd wynika, że b jest równe A. 9, B. 18, C. 45, D. 50. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(b = 45\) ## Sposób 1 - Układ równań **Zapisujemy warunki zadania jako układ równań.** Mamy dwie liczby \(a, b > 0\) takie, że: \[a \cdot b = 1350\] \[15\% \cdot a = 10\% \cdot b\] Drugie równanie przekształcamy: \[\frac{15}{100} \cdot a = \frac{10}{100} \cdot b\] \[15a = 10b\] \[\frac{a}{b} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\] Zatem \(a = \frac{2}{3}b\). Podstawiamy do pierwszego równania: \[\frac{2}{3}b \cdot b = 1350\] \[\frac{2}{3}b^2 = 1350\] \[b^2 = 1350 \cdot \frac{3}{2} = 2025\] \[b = \sqrt{2025} = \mathbf{45}\] (Bierzemy pierwiastek dodatni, bo \(b > 0\).) ## Sposób 2 - Wyznaczenie a wprost z proporcji, potem iloczynu Z warunku \(15a = 10b\) wyznaczamy \(a\): \[a = \frac{10b}{15} = \frac{2b}{3}\] Podstawiamy do \(a \cdot b = 1350\): \[\frac{2b}{3} \cdot b = 1350\] To samo co w Sposobie 1. Alternatywnie - możemy sprawdzić odpowiedź C przez **weryfikację**: Jeśli \(b = 45\), to: \[a = \frac{1350}{45} = 30\] Sprawdzamy warunek procentowy: \[15\% \cdot 30 = 0{,}15 \cdot 30 = 4{,}5\] \[10\% \cdot 45 = 0{,}10 \cdot 45 = 4{,}5\] **Zgadza się - \(15\%\) z \(30\) rzeczywiście równa się \(10\%\) z \(45\).** ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne oraz zamiana procentów na ułamki dziesiętne/zwykłe. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A. \(9\) | Wzięcie pierwiastka ze złej liczby lub pomylenie \(a\) z \(b\) i wyliczenie \(\sqrt{81}\) | | B. \(18\) | Pomylenie proporcji - przyjęcie \(\frac{a}{b} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\) zamiast \(\frac{2}{3}\), co daje \(b^2 = 900\), \(b = 30\), a potem zgadywanie | | D. \(50\) | Błąd przy upraszczaniu proporcji lub przestawienie: policzono \(a = 45\) zamiast \(b = 45\), a potem \(b = \frac{1350}{45} = 30\), ale zaokrąglono do 50 | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Zamiana procentów na ułamki - \(15\% = \frac{15}{100}\), \(10\% = \frac{10}{100}\). Przy upraszczaniu \(\frac{15}{100} \cdot a = \frac{10}{100} \cdot b\) można od razu pomnożyć obie strony przez 100 i dostać \(15a = 10b\). Nie zapomnij podzielić obu stron przez 5: \(3a = 2b\). > ⚠️ **Uwaga:** Z równania \(3a = 2b\) wynika \(a = \frac{2}{3}b\), NIE \(a = \frac{3}{2}b\). To najczęstszy błąd - odwrócenie proporcji. > ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt{2025} = 45\), bo \(45^2 = 2025\). Warto sprawdzić: \(40^2 = 1600\), \(50^2 = 2500\), więc szukamy między nimi. \(45^2 = (40+5)^2 = 1600 + 400 + 25 = 2025\). ✓ **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Układ równań Z warunku \(0{,}15a = 0{,}1b\) mamy \(a = \dfrac{0{,}1}{0{,}15}b = \dfrac{2}{3}b\). Podstawiamy do \(ab = 1350\): \[\dfrac{2}{3}b\cdot b = 1350 \Rightarrow \dfrac{2}{3}b^2 = 1350 \Rightarrow b^2 = 2025 \Rightarrow b = 45\] (dodatnia). ### Sposób 2 - Stosunki \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\), więc \(a : b = 2 : 3\). Przyjmijmy \(a = 2k\), \(b = 3k\). Wtedy \(ab = 6k^2 = 1350\), czyli \(k^2 = 225\), \(k = 15\). Zatem \(b = 3\cdot 15 = 45\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(9\)** - wtedy \(a = 6\), \(ab = 54 \ne 1350\). - **B. \(18\)** - wtedy \(a = 12\), \(ab = 216 \ne 1350\). - **D. \(50\)** - wtedy \(a = \tfrac{100}{3}\), \(ab \approx 1667\). **Trik:** gdy \(p\%\) jednej liczby = \(q\%\) drugiej, to \(a:b = q:p\) (uwaga na zamianę!). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/2) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F2) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi % 60 liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Suma dwóch liczb jest równa 7 , a ich różnica 3 . Oblicz iloczyn tych liczb. Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Poziom podstawowy 5 - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) W wyborach na przewodniczącego klasy kandydowało troje uczniów: Jacek, Helena i Grzegorz. Każdy uczeń tej klasy oddał jeden ważny głos. Jacek - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więce _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_