# Matematyka — zadanie 20 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/20 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 20. (0-1) Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ′ ′ ′ A B C w skali 5 2 , przy czym 5 2 AB A B ′ ′ . Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta ′ ′ ′ A B C jest równy A. 4 25 B. 2 5 C. 5 2 D. 25 4 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A'B'C' w skali 5/2, przy czym |AB|=5/2|A'B'|. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A'B'C' jest równy A. 4/25; B. 2/5; C. 5/2; D. 25/4. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(\dfrac{25}{4}\) ## Sposób 1 - Wzór na pola figur podobnych Trójkąty są podobne w skali \(k = \dfrac{5}{2}\), co oznacza, że każdy bok trójkąta \(ABC\) jest \(\dfrac{5}{2}\) razy dłuższy od odpowiadającego boku trójkąta \(A'B'C'\). Potwierdza to też warunek z treści: \[|AB| = \frac{5}{2}|A'B'| \implies k = \frac{|AB|}{|A'B'|} = \frac{5}{2}\] Pole figury podobnej rośnie proporcjonalnie do **kwadratu** skali podobieństwa: \[\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = k^2\] Podstawiamy \(k = \dfrac{5}{2}\): \[\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\] **Odpowiedź: \(\dfrac{25}{4}\)** ## Sposób 2 - Przykład liczbowy (weryfikacja) Przyjmijmy konkretne trójkąty podobne w skali \(\dfrac{5}{2}\). Niech \(A'B'C'\) będzie trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych \(2\) i \(4\): \[P_{A'B'C'} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\] Trójkąt \(ABC\) jest podobny w skali \(\dfrac{5}{2}\), więc jego przyprostokątne wynoszą \(2 \cdot \dfrac{5}{2} = 5\) oraz \(4 \cdot \dfrac{5}{2} = 10\): \[P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25\] Stosunek pól: \[\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = \frac{25}{4}\] Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pola figur podobnych: \[\frac{P_B}{P_A} = k^2\] gdzie \(k\) to skala podobieństwa (stosunek odpowiadających sobie boków). To jest **kluczowy wzór** tego zadania - bezpośrednio z karty wzorów. Wystarczyło go znać i prawidłowo odczytać skalę. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A: \(\dfrac{4}{25}\) | Uczeń policzył \(k^2 = \dfrac{25}{4}\), ale odwrócił ułamek - dał wynik dla stosunku \(P_{A'B'C'} : P_{ABC}\), czyli pomylił kolejność trójkątów | | B: \(\dfrac{2}{5}\) | Uczeń odwrócił skalę \(\dfrac{5}{2} \to \dfrac{2}{5}\) - pomylił który trójkąt jest większy | | C: \(\dfrac{5}{2}\) | Uczeń przepisał skalę podobieństwa zamiast ją podnieść do kwadratu - zapomniał, że pola rosną kwadratowo, nie liniowo | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Skala podobieństwa dotyczy **boków** (długości) - pola rosną przez \(k^2\), a objętości (w stereometrii) przez \(k^3\). Nie wolno mieszać tych potęg! > ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź **kierunek** podobieństwa - skala \(\dfrac{5}{2}\) to \(ABC\) do \(A'B'C'\), więc \(ABC\) jest **większy**. Stosunek pól musi być większy od 1, czyli odpowiedzi A i B odpadają z miejsca. > ⚠️ **Uwaga:** Dane \(|AB| = \dfrac{5}{2}|A'B'|\) to tylko **potwierdzenie** skali - nie dodatkowa informacja. Nie próbuj liczyć pól ze wzoru \(P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma\) bez znanych wartości boków. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Stosunek pól = kwadrat skali Jeśli trójkąty są podobne w skali \(k = \tfrac{5}{2}\), to: \[\dfrac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = k^2 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4}.\] ### Sposób 2 - Poprzez konkretne wymiary Załóżmy, że boki \(A'B'C'\) to \(2, 2, 2\), a \(ABC\) to \(5, 5, 5\) (oba równoboczne). Pola: \(P' = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4 = \sqrt{3}\), \(P = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 25 = \tfrac{25\sqrt{3}}{4}\). Stosunek: \(\tfrac{25}{4}\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\tfrac{4}{25}\)** - odwrotność poprawnej (stosunek w odwrotnym kierunku). - **B. \(\tfrac{2}{5}\)** - odwrotna skala, bez potęgowania. - **C. \(\tfrac{5}{2}\)** - sama skala, nie jej kwadrat. **Trik:** w podobnych figurach stosunek **boków** to \(k\), **pól** to \(k^2\), **objętości** to \(k^3\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/20) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F20) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_