# Matematyka — zadanie 21 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/21 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 21. (0-1) Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 3 1 3 π . Długość boku tego trójkąta jest równa A. π 3 B. π C. 3π D. 3π MPO_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1/3π^3. Długość boku tego trójkąta jest równa A. π/3; B. π; C. √3π; D. 3π. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(\pi\) ## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym **Cel:** znamy pole okręgu opisanego, chcemy wyznaczyć bok trójkąta. **Krok 1. Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.** Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) wysokość wynosi: \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku \(2:1\) od wierzchołka, więc: \[R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\] **Krok 2. Pole okręgu opisanego.** \[P = \pi R^2 = \pi \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3a^2}{9} = \frac{\pi a^2}{3}\] **Krok 3. Przyrównanie do danego pola.** \[\frac{\pi a^2}{3} = \frac{1}{3}\pi^3\] Obie strony mnożymy przez \(3\): \[\pi a^2 = \pi^3\] Dzielimy obie strony przez \(\pi\): \[a^2 = \pi^2\] \[\boxed{a = \pi}\] ## Sposób 2 - Twierdzenie sinusów Twierdzenie sinusów daje wzór na promień okręgu opisanego bezpośrednio z boku i kąta naprzeciwko niego: \[\frac{a}{\sin\alpha} = 2R\] W trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \(60°\), więc: \[R = \frac{a}{2\sin 60°} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\] Pole okręgu: \[P = \pi R^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{3} = \frac{\pi a^2}{3}\] Przyrównujemy do danego pola: \[\frac{\pi a^2}{3} = \frac{\pi^3}{3} \implies a^2 = \pi^2 \implies \mathbf{a = \pi}\] Ten sam wynik - **odpowiedź B jest potwierdzona**. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - trójkąt równoboczny o boku \(a\): \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad R = \frac{2h}{3}\] Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia promienia okręgu opisanego. **Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - pole koła: \[P = \pi r^2\] Pozwoliło nam zapisać pole okręgu opisanego przez promień \(R\). **Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - twierdzenie sinusów: \[\frac{a}{\sin\alpha} = 2R\] Użyte w Sposobie 2 jako alternatywna droga do wzoru na \(R\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A - \(\dfrac{\pi}{3}\) | Pomyłka: wzięcie \(R = \frac{a}{3}\) zamiast \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\), a potem zły wynik \(a^2 = \frac{\pi^2}{3}\) | | C - \(\sqrt{3}\pi\) | Użycie promienia okręgu **wpisanego** \(r = \frac{h}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\) zamiast opisanego - daje \(a^2 = 3\pi^2\), stąd \(a = \sqrt{3}\pi\) | | D - \(3\pi\) | Błąd przy mnożeniu: pominięcie czynnika \(\frac{1}{3}\) w polu i wyjście z \(a^2 = 9\pi^2\), czyli \(a = 3\pi\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić promienia okręgu **opisanego** \(R = \frac{2h}{3}\) z promieniem okręgu **wpisanego** \(r = \frac{h}{3}\). Okrąg opisany jest większy i sięga wierzchołków - jego środek jest bliżej wierzchołka, dalej od podstawy. > ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenie \(\frac{1}{3}\pi^3\) to liczba - nie ma tu żadnej zmiennej. Łatwo pomylić \(\pi^3\) z \(\pi \cdot 3\) przy szybkim czytaniu treści. Warto przepisać to wyraźnie przed obliczeniami. > ⚠️ **Uwaga:** Z równania \(a^2 = \pi^2\) wynika \(a = \pi\) (bo bok jest dodatni - odrzucamy rozwiązanie \(a = -\pi\)). **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Karta wzorów: trójkąt równoboczny o boku \(a\) Promień opisanego okręgu: \(R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}\). Pole koła: \(\pi R^2 = \pi\cdot\dfrac{a^2\cdot 3}{9} = \dfrac{\pi a^2}{3}\). Z warunku: \(\dfrac{\pi a^2}{3} = \dfrac{\pi^3}{3} \Rightarrow a^2 = \pi^2 \Rightarrow a = \pi\). ### Sposób 2 - Najpierw obliczamy \(R\) \(\pi R^2 = \tfrac{1}{3}\pi^3 \Rightarrow R^2 = \tfrac{\pi^2}{3} \Rightarrow R = \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\). Ze wzoru \(R = \tfrac{a\sqrt{3}}{3}\): \(a = R\cdot\tfrac{3}{\sqrt{3}} = R\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3} = \pi\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\tfrac{\pi}{3}\)** - błąd: pominięto \(\sqrt{3}\) we wzorze. - **C. \(\sqrt{3}\pi\)** - pomnożono przez \(\sqrt{3}\) zamiast podzielić. - **D. \(3\pi\)** - użyto \(R = a\) zamiast \(R = \tfrac{a\sqrt{3}}{3}\). **Trik:** w trójkącie równobocznym \(R = \tfrac{a}{\sqrt{3}}\) - pamiętaj ten wzór z karty wzorów! ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/21) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F21) ## Podobne zadania - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (4 pkt) Pole trójkąta prostokątnego jest równe 2 60 cm . Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej te - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2022-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) Dany jest romb 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód tego rombu jest równy 52 cm, a przekątna 𝐴𝐶 ma długość 24 cm (zobacz rysunek poniżej). Oblicz długość przekątnej 𝑩𝑫 - [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-2) Dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie 𝑆. Średnica 𝐴𝐵 tego okręgu przecina cięciwę 𝐶𝐷 w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek). Ponadto: |𝑃𝐵| = 4, |𝑃𝐶| = 8 - [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Arkusz ćwic _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_