# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Pole trójkąta prostokątnego ABC , przedstawionego /matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-173/z22.png , jest równe C \(\gamma 4 30^{\circ}\) A B 32 3 16 3 8 3 4 3 A. B. C. D. 6 6 3 3 A. \(\dfrac{32\sqrt{3}}{6}\) B. \(\dfrac{16\sqrt{3}}{6}\) C. \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\) D. \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C Pole trójkąta wynosi \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\). ## Sposób 1 - Trygonometria (tan do wyznaczenia wysokości) **Dane z rysunku:** - Kąt prosty przy wierzchołku \(A\) - Kąt \(\angle B = 30°\), stąd \(\angle C = 60°\) - Podstawa \(AB = 4\) (pozioma noga) Szukamy boku \(AC\) - pionowej nogi, czyli wysokości trójkąta. W trójkącie prostokątnym z kątem \(30°\) przy \(B\): \[\operatorname{tg} 30° = \frac{AC}{AB}\] \[AC = AB \cdot \operatorname{tg} 30° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\] Pole trójkąta prostokątnego: \[P = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3}\] \[\boxed{P = \frac{8\sqrt{3}}{3}}\] ## Sposób 2 - Wzór trójkąta przez dwa boki i kąt między nimi Znamy: \(AB = 4\), kąt \(\angle A = 90°\), szukamy \(BC\) (przeciwprostokątnej). Z definicji cos w trójkącie prostokątnym: \[\cos 30° = \frac{AB}{BC} \implies BC = \frac{AB}{\cos 30°} = \frac{4}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\] Teraz pole ze wzoru \(P = \frac{1}{2} ab \sin\gamma\), gdzie \(a = BC\), \(b = AB\), \(\gamma = \angle B = 30°\): \[P = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot 4 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot \frac{32\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{32\sqrt{3}}{12} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\] Wynik zgodny - **\(P = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)**. ## Wzory z karty CKE **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}\] Użyliśmy do wyznaczenia \(AC = AB \cdot \operatorname{tg}30°\). Oraz wartość: \[\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\] **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta: \[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\] W naszym przypadku \(a = AB = 4\), \(h_a = AC = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Wartość | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A | \(\dfrac{32\sqrt{3}}{6} = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}\) | Zapomnienie o mnożeniu przez \(\frac{1}{2}\) - uczeń liczy \(P = AB \cdot AC\) zamiast \(\frac{1}{2} AB \cdot AC\) | | B | \(\dfrac{16\sqrt{3}}{6} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\) | **Wartość równa C** - ułamek niezredukowany; obie formy są poprawne matematycznie | | D | \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) | Uczeń oblicza tylko bok \(AC = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) i podaje go jako pole, zapominając o całym wzorze na pole | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(\operatorname{tg} 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\), nie \(\sqrt{3}\)! Mylenie tangens 30° z tangens 60° to najczęstszy błąd - prowadzi do czterokrotnie większego wyniku. > ⚠️ **Uwaga:** Pole trójkąta to **połowa** iloczynu nóg, nie sam iloczyn. Zapomnienie o \(\frac{1}{2}\) daje odpowiedź A. > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że w tym trójkącie **kąt 30° jest przy B**, czyli \(AB\) jest nogą **przyległą** do kąta 30°. Gdyby \(AB\) był przeciwprostokątną, całe obliczenie byłoby inne. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Tangens kąta \(30°\) W trójkącie prostokątnym \(ABC\) z kątem prostym w \(C\) i \(\angle A = 30°\): \(AC = 4\). \(\mathrm{tg}\,30° = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\), więc \(BC = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\). Pole: \(P = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BC = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\). ### Sposób 2 - Szczególny trójkąt \(30°\text{-}60°\text{-}90°\) W trójkącie \(30°\text{-}60°\text{-}90°\) boki są w stosunku \(1 : \sqrt{3} : 2\). Naprzeciw \(30°\) - najkrótszy. Tu \(AC = 4\) leży naprzeciw \(60°\), więc \(AC : BC = \sqrt{3} : 1\), skąd \(BC = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\). Pole: \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\dfrac{32\sqrt{3}}{6}\)** i **B. \(\dfrac{16\sqrt{3}}{6}\)** - błędne upraszczanie / podwójne mnożenie. - **D. \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)** - to \(BC\), nie pole. **Trik:** w trójkącie \(30°\text{-}60°\text{-}90°\) boki \(= 1, \sqrt{3}, 2\). Użyj tangensa z karty wzorów. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17) — Zadanie 17. (0-3) Na rysunku pokazano plan dwóch dróg, którymi Ula chodzi do szkoły. Przyjmij, że Ula porusza się ze stałą prędkością 𝟒 km h . Oblicz, o ile min - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie 𝐴 przecięto dwiema prostymi równoległymi 𝑘 oraz 𝑙. Prosta 𝑘 przecina ramiona tego kąta w punktach 𝐵 oraz - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) Na płaszczyźnie dane są cztery proste: 𝑘, 𝑙, 𝑚 oraz 𝑛. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe. Prosta 𝑚 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiedn - [Zadanie 24.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/24.1) — Zadanie 24.1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_