# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 23. (0-1)
Długość przekątnej sześcianu jest równa 6 . Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego
sześcianu jest równe
A. 72
B. 48
C. 152
D. 108
Długość przekątnej sześcianu jest równa 6. Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe A. 72; B. 48; C. 152; D. 108;

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(72\)

## Sposób 1 - Ze wzoru na przekątną sześcianu

**Krok 1: Wyznaczamy bok sześcianu.**

Niech bok sześcianu ma długość \(a\). Przekątna sześcianu (przestrzenna) łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przebiega przez środek bryły.

Wyznaczamy ją w dwóch etapach:
- Przekątna podstawy (kwadrat o boku \(a\)):
\[d_{\text{podst}} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\]

- Przekątna sześcianu (jako hipotenuza trójkąta prostokątnego o ramionach \(a\sqrt{2}\) i \(a\)):
\[d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\]

**Krok 2: Podstawiamy daną długość przekątnej.**

\[a\sqrt{3} = 6 \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

**Krok 3: Liczymy pole powierzchni całkowitej.**

Sześcian ma 6 ścian, każda to kwadrat o boku \(a\):
\[P_c = 6a^2 = 6 \cdot (2\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = \mathbf{72}\]

## Sposób 2 - Bezpośrednio z \(d^2\)

Skoro \(d = a\sqrt{3}\), to \(d^2 = 3a^2\), a więc:
\[a^2 = \frac{d^2}{3}\]

Pole powierzchni całkowitej:
\[P_c = 6a^2 = 6 \cdot \frac{d^2}{3} = 2d^2\]

Podstawiamy \(d = 6\):
\[P_c = 2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 36 = \mathbf{72}\]

> Sprytny skrót: **pole powierzchni całkowitej sześcianu = \(2d^2\)**. Warto zapamiętać!

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej sześcianu (graniastosłup prostokątny o \(a = b = c\)):
\[P_c = 6a^2\]
Użyliśmy tego wzoru w Kroku 3, by obliczyć pole z wyznaczonego boku.

**Dział 10 / Twierdzenie Pitagorasa (s. 15)** - zastosowane dwukrotnie (do przekątnej podstawy, potem do przekątnej przestrzennej):
\[a^2 + b^2 = c^2\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **B. 48** | Uczeń bierze \(d = a\sqrt{2}\) (przekątna **podstawy**, nie sześcianu), wychodzi \(a = 3\sqrt{2}\), \(P_c = 6 \cdot 18 = 108\) - albo myli wzór i liczy \(\frac{4}{3}d^2\) |
| **C. 152** | Błąd arytmetyczny lub mylenie pola z objętością/obwodem |
| **D. 108** | Uczeń myli przekątną sześcianu \(a\sqrt{3}\) z przekątną podstawy \(a\sqrt{2}\): \(a\sqrt{2} = 6 \Rightarrow a = 3\sqrt{2} \Rightarrow P_c = 6 \cdot 18 = 108\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **dwie różne przekątne** - przekątną ściany (kwadratowej) \(a\sqrt{2}\) i przekątną **przestrzenną** \(a\sqrt{3}\). Zadanie mówi o „przekątnej sześcianu" - zawsze chodzi o tę przestrzenną \(a\sqrt{3}\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl \((2\sqrt{3})^2\) - to \(4 \cdot 3 = 12\), a **nie** \(4\sqrt{3}\). Kwadrat iloczynu = iloczyn kwadratów.

> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 (\(P_c = 2d^2\)) to szybki skrót - ale na egzaminie warto go wyprowadzić, nie zakładać z pamięci, żeby nie pomylić ze wzorem na inną bryłę.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Karta wzorów: przekątna sześcianu
\(d = a\sqrt{3}\), więc \(a = \dfrac{d}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\).
\(a^2 = 12\).

Pole powierzchni całkowitej: \(P_c = 6a^2 = 6\cdot 12 = 72\).

### Sposób 2 - Bez wyliczania \(a\)
Z \(d^2 = 3a^2\) wynika \(a^2 = \tfrac{d^2}{3} = \tfrac{36}{3} = 12\).
Pole: \(6\cdot 12 = 72\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(48\)** - ktoś użył \(d = a\sqrt{2}\) (przekątna ściany, nie sześcianu).
- **C. \(152\)** - błąd rachunkowy.
- **D. \(108\)** - ktoś użył \(P = 9a^2\) lub \(a = 3\).

**Trik:** rozróżniaj przekątną ściany (\(a\sqrt{2}\)) od przekątnej sześcianu (\(a\sqrt{3}\))!

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. √2 B. 2 C. 2√2 D. √6
- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) Objętość sześcianu jest równa 729. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. 9√3 B. 9√2 C. 3√3 D. 3√2
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Objętość sześcianu jest równa 729. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2508/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Objętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16𝜋2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego walca jest r

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_