# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π , a promień jego podstawy ma długość 2.
Wysokość tego walca jest równa
A. 4
B. 8
C. 4π
D. 8π
Pole powierzchni bocznej walca jest równe 16π, a promień jego podstawy ma długość 2. Wysokość tego walca jest równa A. 4; B. 8; C. 4π; D. 8π.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (\(h = 4\))

## Sposób 1 - wzór na pole powierzchni bocznej walca

Znamy wzór na pole powierzchni bocznej walca:
\[P_b = 2\pi r h\]

Podstawiamy dane: \(P_b = 16\pi\), \(r = 2\):
\[16\pi = 2\pi \cdot 2 \cdot h\]
\[16\pi = 4\pi h\]

Dzielimy obie strony przez \(4\pi\):
\[h = \frac{16\pi}{4\pi} = 4\]

**Wysokość walca wynosi \(h = 4\).**

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, czy \(h = 4\) i \(r = 2\) dają \(P_b = 16\pi\):
\[P_b = 2\pi r h = 2\pi \cdot 2 \cdot 4 = 16\pi \checkmark\]

Wynik się zgadza - odpowiedź A jest poprawna.

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej walca:
\[P_b = 2\pi r h\]
To podstawowy wzór użyty w rozwiązaniu. Wystarczyło podstawić znane wartości i wyznaczyć \(h\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B: \(8\) | Pomylenie wzoru - np. wzięcie \(P_b = 2r \cdot h\) (bez \(\pi\)) albo podstawienie \(r = 4\) zamiast \(r = 2\), co daje \(h = \frac{16\pi}{8\pi} = 2\) - a potem błędna odpowiedź |
| C: \(4\pi\) | Pomylenie wyniku z \(r = 2\) i niepotrzebne dopisanie \(\pi\) do rezultatu, albo użycie wzoru \(P_b = \pi r h\) (brak czynnika 2) |
| D: \(8\pi\) | Użycie wzoru na pole **całkowite** \(P_c = 2\pi r(r+h)\) lub podobny błąd z dołożeniem \(\pi\) do wyniku |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Pole **boczne** to \(2\pi rh\) - sama "boczna ściana" walca. Pole **całkowite** to \(2\pi r(r+h)\) - to łącznie z dwoma podstawami. Nie mylić tych wzorów!

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(h\) jest liczbą **bez \(\pi\)**. Jeśli po obliczeniu masz \(h = 4\pi\) lub \(h = 8\pi\) - to sygnał, że gdzieś \(\pi\) się nie skróciło, bo powinno!

> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że w mianowniku przy dzieleniu masz \(2\pi r\), więc \(\pi\) ze licznika i mianownika skraca się - wynik jest zawsze "zwykłą liczbą".

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wzór z karty wzorów
Pole powierzchni bocznej walca: \(P_b = 2\pi r h\).
\[2\pi\cdot 2\cdot h = 16\pi \Rightarrow 4\pi h = 16\pi \Rightarrow h = 4.\]

### Sposób 2 - Intuicja
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu to prostokąt o wymiarach \(2\pi r\) (obwód) \(\times\) \(h\). Tu obwód = \(4\pi\), pole = \(16\pi\), więc \(h = 4\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(8\)** - pominięto dzielenie przez \(2\).
- **C. \(4\pi\)** - zostawiono \(\pi\) w wyniku (nie usunięto z równania).
- **D. \(8\pi\)** - dwa błędy naraz.

**Trik:** pole boczne walca = obwód podstawy × wysokość = \(2\pi r h\) (karta wzorów).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_