# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 25. (0-1)
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania
pary liczb, których iloczyn jest większy od 20 , jest równe
A. 1
6
B.
5
36
C. 1
9
D.
2
9

30°
A
B
C
4

MPO_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od 20, jest równe A. 1/6; B. 5/36; C. 1/9; D. 2/9.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(\dfrac{1}{6}\)

## Sposób 1 - Wyliczenie wszystkich korzystnych par

**Przestrzeń zdarzeń elementarnych** to wszystkie pary wyników rzutów \((a, b)\), gdzie \(a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\):

\[|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\]

**Szukamy par, dla których \(a \cdot b > 20\).**

Analizujemy systematycznie według wartości pierwszej kostki:

| \(a\) | Warunek na \(b\) | Korzystne \(b\) | Liczba par |
| 1 | \(b > 20\) | brak | 0 |
| 2 | \(b > 10\) | brak | 0 |
| 3 | \(b > 6{,}67\) | brak (max \(b=6\), \(3 \cdot 6 = 18\)) | 0 |
| 4 | \(b > 5\) | \(b = 6\) (bo \(4 \cdot 6 = 24\)) | 1 |
| 5 | \(b > 4\) | \(b = 5\) lub \(b = 6\) | 2 |
| 6 | \(b > 3{,}33\) | \(b = 4, 5, 6\) | 3 |

Korzystne pary:
\[(4,6),\ (5,5),\ (5,6),\ (6,4),\ (6,5),\ (6,6)\]

Łącznie: **6 par**.

\[\boxed{P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}}\]

## Sposób 2 - Grupowanie według symetrii / weryfikacja

Możemy zauważyć, że pary z iloczynem \(> 20\) tworzą trójkąt w lewym górnym rogu siatki \(6 \times 6\) (dla dużych wartości):

Rysujemy tabelę iloczynów dla \(a, b \in \{4,5,6\}\):

| | \(b=4\) | \(b=5\) | \(b=6\) |
| \(a=4\) | 16 | 20 | **24** |
| \(a=5\) | 20 | **25** | **30** |
| \(a=6\) | **24** | **30** | **36** |

Pogrubione: iloczyny \(> 20\). Liczymy: 6 pól.

Uwaga: \(4 \cdot 4 = 16\), \(4 \cdot 5 = 20\), \(5 \cdot 4 = 20\) - **nie spełniają** warunku \(> 20\) (ściśle większe).

\[P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]

Wynik potwierdzony.

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:

\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]

Użyliśmy tego wprost: \(|A| = 6\) (korzystne wyniki), \(|\Omega| = 36\) (wszystkie wyniki).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wynik | Typowy błąd |
| B | \(\dfrac{5}{36}\) | Policzono tylko 5 par - np. pominięto parę \((6,4)\), myląc ją z \((4,6)\) albo o niej zapominając |
| C | \(\dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{36}\) | Traktowanie par jako nieutożsamionych (nieporządkowanych) - policzono \(\{4,6\}, \{5,5\}, \{5,6\}, \{6,6\}\) = 4 pary, zapominając że \((4,6)\) i \((6,4)\) to **dwa różne zdarzenia** |
| D | \(\dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{36}\) | Zastosowano warunek \(a \cdot b \geq 20\) zamiast \(a \cdot b > 20\) - doliczono pary \((4,5)\) i \((5,4)\), dając 8 par |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Para \((a, b)\) i para \((b, a)\) to **dwa różne zdarzenia elementarne** - rzuty są kolejne, więc \((4,6)\) ≠ \((6,4)\). Nieuwzględnienie tego skutkuje odpowiedzią C.

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek jest **ściśle większy** niż 20 (\(> 20\)), nie większy lub równy. Pary \((4,5)\) i \((5,4)\) dają iloczyn dokładnie \(20\) - **nie spełniają** warunku. To pułapka prowadząca do odpowiedzi D.

> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzać graniczną wartość \(a=3\): \(3 \cdot 6 = 18 \leq 20\), więc żadna para z trójką nie jest korzystna. Błędne intuicje mogą tu zawyżać wynik.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wyliczenie par
Możliwości: \(|\Omega| = 36\) (para uporządkowana \((a,b)\), \(a,b \in \{1,\ldots,6\}\)).
Pary z iloczynem \(>20\):
- \((4,6)=24\), \((6,4)=24\),
- \((5,5)=25\), \((5,6)=30\), \((6,5)=30\),
- \((6,6)=36\).

Razem \(6\) par. \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).

### Sposób 2 - Tabela par \((a,b)\) z \(a\cdot b > 20\)
Dla ustalonego \(a\):
- \(a = 1,2,3\): max iloczyn \(\leq 18\) - brak.
- \(a = 4\): \(b = 6\) (jeden).
- \(a = 5\): \(b = 5, 6\) (dwa).
- \(a = 6\): \(b = 4, 5, 6\) (trzy).

Razem \(1 + 2 + 3 = 6\) par. \(P = \tfrac{1}{6}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\tfrac{5}{36}\)** - pominięto jedną parę.
- **C. \(\tfrac{1}{9}\)** - \(\tfrac{4}{36}\), pominięto dwie pary.
- **D. \(\tfrac{2}{9}\)** - \(\tfrac{8}{36}\), policzono z włączeniem par z iloczynem \(= 20\) (np. \((4,5)\)).

**Trik:** "większy od" znaczy **ściśle** większy - iloczyn \(20\) nie wlicza się.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 .
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_