# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż nierówność \(\left(x - \frac{1}{2}\right)x > 3\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right)\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\[x \in \left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)\]

## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika

**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**

\[\left(x - \frac{1}{2}\right)x - 3\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) > 0\]

**Wyłączamy czynnik \(\left(x - \frac{1}{2}\right)\) przed nawias:**

\[\left(x - \frac{1}{2}\right)\left[x - 3\left(x + \frac{1}{3}\right)\right] > 0\]

**Upraszczamy wyrażenie w nawiasie kwadratowym:**

\[x - 3\left(x + \frac{1}{3}\right) = x - 3x - 1 = -2x - 1\]

Nierówność przybiera postać:

\[\left(x - \frac{1}{2}\right)(-2x - 1) > 0\]

Wyłączamy \(-1\) (zmieniamy znak nierówności!):

\[\left(x - \frac{1}{2}\right)(2x + 1) < 0\]

**Wyznaczamy pierwiastki iloczynu:**
- \(x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
- \(2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\)

**Tabela znaków** (iloczyn dwóch czynników, wiodący współczynnik iloczynu \(2x^2 - \frac{1}{2}\) jest dodatni → parabola skierowana ku górze):

| Przedział | \(x - \frac{1}{2}\) | \(2x+1\) | Iloczyn |
| \(x < -\frac{1}{2}\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\) | \(-\) | \(+\) | \(\mathbf{-}\) |
| \(x > \frac{1}{2}\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

Szukamy **ujemnych** wartości iloczynu (nierówność \(< 0\)):

\[\boxed{x \in \left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)}\]

## Sposób 2 - Rozwinięcie i uproszczenie

Rozwijamy obie strony nierówności:

**Lewa strona:**
\[x\left(x - \frac{1}{2}\right) = x^2 - \frac{1}{2}x\]

**Prawa strona:**
\[3\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) = 3\left(x^2 + \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{6}\right) = 3x^2 + x - \frac{3x}{2} - \frac{1}{2}\]

**Przenosimy prawą stronę na lewą:**
\[x^2 - \frac{1}{2}x - 3x^2 - x + \frac{3x}{2} + \frac{1}{2} > 0\]

**Zbieramy wyrazy podobne** (współczynniki przy \(x\): \(-\frac{1}{2} - 1 + \frac{3}{2} = \frac{-1 - 2 + 3}{2} = 0\)):

\[-2x^2 + \frac{1}{2} > 0\]

Mnożymy przez \(-1\) (zmieniamy znak!):

\[2x^2 - \frac{1}{2} < 0\]

\[2x^2 < \frac{1}{2}\]

\[x^2 < \frac{1}{4}\]

\[|x| < \frac{1}{2}\]

**Stąd bezpośrednio:**

\[x \in \left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2}\right)\]

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczają podstawowe działania algebraiczne (wyłączanie przed nawias, mnożenie, analiza znaku iloczynu).

Pomocna może być znajomość:
> **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - analiza znaku trójmianu \(2x^2 - \frac{1}{2} < 0\):
> \[\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 > 0,\quad x_{1,2} = \pm\frac{1}{2}\]
> Dla \(a = 2 > 0\): trójmian jest ujemny **między** pierwiastkami.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wyłączamy czynnik \(\left(x - \frac{1}{2}\right)\) z obu stron nierówności, **NIE wolno go zwyczajnie skracać** jak w równaniu - nie wiemy, czy jest dodatni czy ujemny. Zawsze przenosimy na jedną stronę i wyłączamy przed nawias.

> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie nierówności przez liczbę ujemną **odwraca znak** nierówności. Tu wyłączenie \(-1\) z \((-2x-1)\) zmieniło \(> 0\) na \(< 0\) - to kluczowy krok!

> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \(x = -\frac{1}{2}\) i \(x = \frac{1}{2}\) **nie należą** do rozwiązania (nierówność ostra \(>\), nie \(\geq\)) - przedział otwarty!

**Poprawna odpowiedź: \(x \in \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)**

### Sposób 1 (CKE) - Sprowadzenie do postaci kanonicznej
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[\left(x - \tfrac{1}{2}\right)x - 3\left(x - \tfrac{1}{2}\right)\left(x + \tfrac{1}{3}\right) > 0.\]
Rozwijamy:
- lewa: \(x^2 - \tfrac{1}{2}x\),
- prawa: \(3\left(x^2 + \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{6}\right) = 3x^2 - \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}\).

Różnica: \((x^2 - \tfrac{1}{2}x) - (3x^2 - \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}) = -2x^2 + \tfrac{1}{2} > 0\).

Stąd \(-2x^2 + \tfrac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow x^2 < \tfrac{1}{4} \Leftrightarrow |x| < \tfrac{1}{2}\).
\[x \in \left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right).\]

### Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika
Nierówność: \(\left(x-\tfrac{1}{2}\right)\left[x - 3\left(x+\tfrac{1}{3}\right)\right] > 0\), czyli \(\left(x-\tfrac{1}{2}\right)(-2x - 1) > 0\).
Rozwiązania równania \(\left(x-\tfrac{1}{2}\right)(-2x - 1) = 0\): \(x = \tfrac{1}{2}\), \(x = -\tfrac{1}{2}\).

Parabola \(f(x) = (x-\tfrac{1}{2})(-2x-1) = -2x^2 + \tfrac{1}{2}\) otwarta w dół, dodatnia między pierwiastkami: \(x \in (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})\).

### Uwagi o punktacji (2p)
- **1p**: obliczenie pierwiastków trójmianu \(x_1 = -\tfrac{1}{2}\), \(x_2 = \tfrac{1}{2}\).
- **2p**: podanie zbioru rozwiązań: \(x \in \left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right)\).

**Trik:** nie dziel przez \((x-\tfrac{1}{2})\) bez rozważenia znaku - to prowadzi do utraty rozwiązań! Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (5 pkt) Rozwiąż nierówność: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 3 3 3 3 log 1 log 5 log 1 x x x > Nr czynności 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Maks. liczba pkt 1 1 1 1 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝟐𝒙-𝟔| -|𝒙𝟐-𝟗| < 𝟎 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |2x-6| - |x²-9| < 0 Zapisz ob
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-4) Rozwiąż nierówność |𝒙-𝟐| -𝟐⋅|𝒙+ 𝟑| < -𝟐 Zapisz obliczenia. 5. 0-1- 2-3-4 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż nierówność |x-2|-2⋅|x+3| < -2. Zapisz 
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Dane jest równanie 3𝑥+ 4 𝑥-1 = 𝑥+ 3 3𝑥 , gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞, -𝟐 𝟑). Zapisz

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_