# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((\sin\alpha - \cos\alpha)^{2}\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(\dfrac{1}{4}\)

## Sposób 1 - Tożsamość z jedynką trygonometryczną

**Kluczowy pomysł:** Wyrażenia \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2\) i \((\sin\alpha - \cos\alpha)^2\) różnią się tylko znakiem przy środkowym składniku - możemy to sprytnie wykorzystać.

Rozwijamy szukane wyrażenie:
\[(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha\]

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\):
\[(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha\]

Teraz musimy wyznaczyć \(\sin\alpha\cos\alpha\). Podnosimy do kwadratu dany warunek:
\[(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2\]

\[\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{7}{4}\]

\[1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{7}{4}\]

\[2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}\]

Podstawiamy:
\[(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \boxed{\frac{1}{4}}\]

## Sposób 2 - Wyznaczenie wartości sin α i cos α

Wiemy, że \(\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{2}\) oraz (z powyżej) \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{3}{8}\).

Oznacza to, że \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\) są pierwiastkami trójmianu (wzory Viète'a):
\[t^2 - \frac{\sqrt{7}}{2}\,t + \frac{3}{8} = 0 \quad \Bigg|\cdot 8\]
\[8t^2 - 4\sqrt{7}\,t + 3 = 0\]

Wyróżnik:
\[\Delta = (4\sqrt{7})^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 112 - 96 = 16\]

Pierwiastki:
\[t_{1,2} = \frac{4\sqrt{7} \pm 4}{16} = \frac{\sqrt{7} \pm 1}{4}\]

Zatem \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}+1}{4}\) i \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}-1}{4}\) (lub odwrotnie, bo \(\alpha\) ostry).

Sprawdzamy wynik:
\[\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{\sqrt{7}+1}{4} - \frac{\sqrt{7}-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

\[(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Użyta w Sposobie 1 do uproszczenia \((\sin\alpha - \cos\alpha)^2\) oraz w rozwinięciu \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2\).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a i wzór na pierwiastki - użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia dokładnych wartości \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie da się bezpośrednio wyliczyć \((\sin\alpha - \cos\alpha)^2\) bez obliczenia \(\sin\alpha\cos\alpha\) - kluczowe jest podniesienie do kwadratu warunku z zadania!

> ⚠️ **Uwaga:** Typowy błąd to odpowiedź \(\frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}\) - uczniowie zostawiają \(2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{3}{4}\) jako wynik, zapominając odjąć go od \(1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o \((\sin\alpha - \cos\alpha)^2\), nie o \(\sin\alpha - \cos\alpha\). Nawet jeśli nie wiesz, czy \(\sin\alpha > \cos\alpha\), kwadrat zawsze daje \(\frac{1}{4}\) - niezależnie od znaku różnicy.

**Poprawna odpowiedź: \((\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \dfrac{1}{4}\)**

### Sposób 1 (CKE) - Podniesienie danego do kwadratu
Obie strony \(\sin\alpha + \cos\alpha = \tfrac{\sqrt{7}}{2}\) są dodatnie, więc podnosimy do kwadratu:
\[\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{7}{4}.\]
Korzystamy z \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\):
\[1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{7}{4} \Rightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{3}{4}.\]

Teraz obliczamy \((\sin\alpha - \cos\alpha)^2\):
\[(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 - \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{4}.\]

### Sposób 2 - Przez trójkąt prostokątny
Niech \(\sin\alpha = \tfrac{a}{c}\), \(\cos\alpha = \tfrac{b}{c}\) w trójkącie prostokątnym (\(a^2 + b^2 = c^2\)).
Z \(\tfrac{a}{c} + \tfrac{b}{c} = \tfrac{\sqrt{7}}{2}\) po podniesieniu do kwadratu:
\(\tfrac{a^2+b^2}{c^2} + 2\tfrac{ab}{c^2} = \tfrac{7}{4}\), czyli \(1 + 2\tfrac{ab}{c^2} = \tfrac{7}{4}\), \(2\tfrac{ab}{c^2} = \tfrac{3}{4}\).
\((\tfrac{a}{c} - \tfrac{b}{c})^2 = 1 - 2\tfrac{ab}{c^2} = \tfrac{1}{4}\).

### Uwagi o punktacji (2p)
- **1p**: zapis \(2\sin\alpha\cos\alpha = \tfrac{3}{4}\) lub \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha\).
- **2p**: obliczenie \(\tfrac{1}{4}\).

**Trik:** zapamiętaj tożsamość \((\sin+\cos)^2 + (\sin-\cos)^2 = 2\). Stąd \((\sin-\cos)^2 = 2 - (\sin+\cos)^2 = 2 - \tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-3) Rozwiąż nierówność ( )( ) 2sin 3 2sin 1 0 x x > w przedziale (0,2π) x∈ MMA_1R Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż nierówność (2*sin x - 3)(2*sin x + 1) 
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-2) Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3, cos ∡𝐵𝐴𝐶= 4 5 . Oblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia. 24. 0-1-2 MMAP-P0_100 Dany je
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-2) Kąt 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= 2. Oblicz wartość wyrażenia sin2 𝛼. Wypełnia egzaminator Nr zadania 31. 32. Maks. liczba pkt 2 2 Uzyskana liczba pkt 
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Kąt α jest ostry i 5 tg 12 α = . Oblicz cosα . Odpowiedź: Kąt alfa jest ostry i tg alfa = 5/12. Oblicz cos alfa.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_