# Matematyka — zadanie 28 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/28 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 2 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 28. (0-2) Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli AD BD , to 1 2 CD BD ⋅ A B C D MPO_1P Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie D. Udowodnij, że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2|BD|. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Twierdzenie jest prawdziwe (zadanie dowodowe) **Ustalenie układu:** Trójkąt prostokątny \(ABC\) z kątem prostym przy \(C\) (skoro \(\angle ABC\) jest ostry, kąt prosty musi być przy \(C\), bo \(AC\) jest przyprostokątną). Dwusieczna \(BD\) kąta \(\angle ABC\) przecina \(AC\) w punkcie \(D\). **Teza:** Jeżeli \(|AD| = |BD|\), to \(|CD| = \dfrac{1}{2}|BD|\). ## Sposób 1 - przez kąty w trójkącie równoramiennym i twierdzenie sinusów **Krok 1: Oznaczamy kąty** Niech \(\angle ABD = \angle DBC = \varphi\), bo \(BD\) jest dwusieczną kąta \(\angle ABC = 2\varphi\). Ponieważ kąt prosty jest przy \(C\): \[\angle BAC + 2\varphi = 90°, \quad \text{więc} \quad \angle BAC = 90° - 2\varphi\] **Krok 2: Wyznaczamy \(\varphi\) z warunku \(|AD| = |BD|\)** W trójkącie \(ABD\): - \(\angle ABD = \varphi\) - \(\angle DAB = 90° - 2\varphi\) Skoro \(|AD| = |BD|\), trójkąt \(ABD\) jest **równoramienny** - kąty przy podstawie \(AB\) są równe: \[\angle DAB = \angle ABD\] \[90° - 2\varphi = \varphi\] \[3\varphi = 90°\] \[\varphi = 30°\] Zatem \(\angle DBC = 30°\) i \(\angle BAC = 30°\). **Krok 3: Kąty w trójkącie \(BDC\)** Trójkąt \(BDC\) ma kąt prosty przy \(C\). Z sumy kątów: \[\angle BDC + 30° + 90° = 180° \implies \angle BDC = 60°\] **Krok 4: Stosunek \(|CD|\) do \(|BD|\) z twierdzenia sinusów** W trójkącie \(BDC\): \[\frac{|CD|}{\sin(\angle DBC)} = \frac{|BD|}{\sin(\angle BCD)}\] \[\frac{|CD|}{\sin 30°} = \frac{|BD|}{\sin 90°}\] \[\frac{|CD|}{\dfrac{1}{2}} = \frac{|BD|}{1}\] \[\boxed{|CD| = \frac{1}{2}|BD|} \qquad \square\] ## Sposób 2 - przez definicję sinusa w trójkącu prostokątnym Po wyznaczeniu \(\varphi = 30°\) (jak powyżej) wiemy, że \(\angle DBC = 30°\). Trójkąt \(BDC\) jest **prostokątny z kątem prostym przy \(C\)**. Korzystamy bezpośrednio z definicji sinusa: \[\sin(\angle DBC) = \frac{\text{bok naprzeciwko } \angle DBC}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{|CD|}{|BD|}\] Stąd: \[\frac{|CD|}{|BD|} = \sin 30° = \frac{1}{2}\] \[\boxed{|CD| = \frac{1}{2}|BD|} \qquad \square\] ## Wzory z karty CKE **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym: \[\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}\] Użyta w Sposobie 2 do wyznaczenia \(|CD|/|BD|\) wprost z kąta \(30°\) w trójkącie prostokątnym \(BDC\). **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - twierdzenie sinusów: \[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\] Użyte w Sposobie 1 do obliczenia stosunku boków bez konieczności znajomości długości. **Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartość dla kąta \(30°\): \[\sin 30° = \frac{1}{2}\] Kluczowy wynik - to właśnie stąd pochodzi \(\frac{1}{2}\) w tezie. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest przy **C**, nie przy **B** - bo treść mówi „kąt *ostry* ABC". To częsty błąd przy czytaniu treści zadania. Gdyby kąt prosty był przy \(B\), twierdzenie nie miałoby sensu (dwusieczna kąta \(90°\) daje \(\varphi = 45°\), co prowadzi do sprzeczności z \(|AD| = |BD|\)). > ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równoramiennym ABD (gdzie \(|AD| = |BD|\)) kąty **równe** to \(\angle DAB\) i \(\angle DBA\) - kąty przy ramionach \(AD\) i \(BD\). Błędem jest mylne „równanie" kątów naprzeciwko boków nierównych. > ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(\sin\alpha = \frac{|CD|}{|BD|}\) w Sposobie 2 działa **tylko** dlatego, że trójkąt \(BDC\) jest prostokątny i \(|BD|\) jest jego przeciwprostokątną. Gdy trójkąt nie jest prostokątny, trzeba stosować twierdzenie sinusów (jak w Sposobie 1). **Dowód** ### Sposób 1 (CKE) - Suma kątów w trójkącie prostokątnym Oznaczmy \(\angle DBC = \angle DBA = \alpha\) (bo \(BD\) jest dwusieczną kąta \(ABC\)). Z założenia \(|AD| = |BD|\) wynika, że trójkąt \(ADB\) jest **równoramienny**, więc: \[\angle DAB = \angle DBA = \alpha.\] W trójkącie prostokątnym \(ABC\) suma kątów ostrych: \(\angle A + \angle B = 90°\), czyli: \[\alpha + 2\alpha = 90° \Rightarrow 3\alpha = 90° \Rightarrow \alpha = 30°.\] Trójkąt \(CBD\) jest prostokątny (kąt prosty w \(C\)), z \(\angle DBC = 30°\). Jest to **połowa trójkąta równobocznego**, więc przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta \(30°\) stanowi połowę przeciwprostokątnej: \[|CD| = \dfrac{1}{2}|BD|. \quad\blacksquare\] ### Sposób 2 - Sinusem Z \(\sin(\angle DBC) = \dfrac{|CD|}{|BD|}\) w trójkącie prostokątnym \(CBD\). Pokazaliśmy wyżej, że \(\angle DBC = 30°\), więc: \[\dfrac{|CD|}{|BD|} = \sin 30° = \dfrac{1}{2} \Rightarrow |CD| = \dfrac{1}{2}|BD|. \quad\blacksquare\] ### Uwagi o punktacji (2p) - **1p**: zapis \(\angle CBD = \angle DBA = \angle DAB = \alpha\). - **2p**: pełne rozumowanie (wykazanie \(\alpha = 30°\) i wniosek). **Trik:** trójkąt równoramienny → kąty przy podstawie równe. Połącz to z sumą kątów \(= 90°\) w trójkącie prostokątnym. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/28) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F28) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A, B, C i D. Wykaż, że jeżeli ADB ACB   , to BAC BDC   MMA_1R MMA_1R - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (3 pkt) Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio ś _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_