# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność 100 25 (1,5) < 6 \(MPO_{1}P\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa.

Wykazujemy, że \((1{,}5)^{100} < 6^{25}\).

## Sposób 1 - Sprowadzenie do tej samej potęgi

**Cel:** Doprowadzić obie strony do porównywalnej formy.

Zauważmy, że wykładniki \(100\) i \(25\) są powiązane: \(100 = 4 \cdot 25\). Spróbujmy więc zapisać lewą stronę jako potęgę o wykładniku \(25\):

\[(1{,}5)^{100} = \left((1{,}5)^4\right)^{25}\]

Obliczamy \((1{,}5)^4\):
\[(1{,}5)^2 = 2{,}25\]
\[(1{,}5)^4 = (2{,}25)^2 = 5{,}0625\]

Zatem:
\[(1{,}5)^{100} = (5{,}0625)^{25}\]

Teraz porównujemy obie strony - mają ten sam wykładnik \(25\), więc wystarczy porównać podstawy:
\[5{,}0625 < 6\]

Ponieważ \(5{,}0625 < 6\) oraz wykładnik \(25 > 0\), funkcja \(f(x) = x^{25}\) jest rosnąca dla \(x > 0\), więc:
\[(5{,}0625)^{25} < 6^{25}\]

**Zatem \((1{,}5)^{100} < 6^{25}\). \(\square\)**

## Sposób 2 - Logarytmowanie obu stron

**Cel:** Porównać logarytmy obu wyrażeń.

Ponieważ funkcja logarytmiczna jest rosnąca, zachodzi:
\[(1{,}5)^{100} < 6^{25} \iff \log(1{,}5)^{100} < \log 6^{25}\]

Korzystamy z własności logarytmu:
\[100 \cdot \log 1{,}5 \quad \text{vs} \quad 25 \cdot \log 6\]

Dzielimy obie strony przez \(25 > 0\):
\[4 \cdot \log 1{,}5 \quad \text{vs} \quad \log 6\]

Korzystamy z własności \(r \cdot \log_a x = \log_a x^r\):
\[\log(1{,}5)^4 \quad \text{vs} \quad \log 6\]

\[\log 5{,}0625 \quad \text{vs} \quad \log 6\]

Ponieważ \(5{,}0625 < 6\), a logarytm jest funkcją rosnącą:
\[\log 5{,}0625 < \log 6\]

**Zatem \((1{,}5)^{100} < 6^{25}\). \(\square\)**

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:
\[(a^r)^s = a^{r \cdot s}\]
Użyta w Sposobie 1 do przepisania \((1{,}5)^{100} = \left((1{,}5)^4\right)^{25}\).

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność:
\[\log_a x^r = r \cdot \log_a x\]
Użyta w Sposobie 2 do uproszczenia \(\log(1{,}5)^{100} = 100 \cdot \log 1{,}5\).

Ponadto w Sposobie 2 korzystamy z faktu, że logarytm jest funkcją **rosnącą** (dla podstawy \(> 1\)), co gwarantuje zachowanie kierunku nierówności.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy powiedzieć „bo \(1{,}5 < 6\)" - te potęgi mają **różne wykładniki**, więc samo porównanie podstaw nic nie daje. Kluczem jest sprowadzenie do **tego samego wykładnika**.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy logarytmowaniu nierówności pamiętaj, że **kierunek nierówności jest zachowany tylko wtedy**, gdy logarytm jest rosnący (podstawa \(> 1\)). Gdyby podstawa była w przedziale \((0,1)\), nierówność by się odwróciła.

> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając \((1{,}5)^4\), nie pomyl kolejności działań - najpierw \((1{,}5)^2 = 2{,}25\), potem \((2{,}25)^2 = 5{,}0625\). Błąd na tym etapie dyskwalifikuje całe rozwiązanie.

**Dowód**

### Sposób 1 (CKE) - Grupowanie wykładników
Zapisujemy \((1{,}5)^{100} = \left((1{,}5)^4\right)^{25}\). Wystarczy wykazać, że \((1{,}5)^4 < 6\):
\[(1{,}5)^4 = \left(\tfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{81}{16} = 5\tfrac{1}{16} < 6.\]
Zatem \(\left((1{,}5)^4\right)^{25} < 6^{25}\), czyli \((1{,}5)^{100} < 6^{25}\). \(\blacksquare\)

### Sposób 2 (CKE) - Zapis przez ułamek \(\tfrac{3}{2}\)
\((1{,}5)^{100} = \left(\tfrac{3}{2}\right)^{100} = \dfrac{3^{100}}{2^{100}}\).

Nierówność \(\dfrac{3^{100}}{2^{100}} < 6^{25} = 2^{25}\cdot 3^{25}\) jest równoważna (mnożąc obie strony przez \(\dfrac{2^{100}}{3^{25}} > 0\)):
\[3^{75} < 2^{125}.\]
Zapisujemy \(3^{75} = (3^3)^{25} = 27^{25}\) oraz \(2^{125} = (2^5)^{25} = 32^{25}\).
Skoro \(27 < 32\), to \(27^{25} < 32^{25}\), czyli \(3^{75} < 2^{125}\). \(\blacksquare\)

### Uwagi o punktacji (2p)
- **1p**: sprowadzenie do równoważnej postaci (\(((1{,}5)^4)^{25} < 6^{25}\) albo \(3^{75} < 2^{125}\)).
- **2p**: pełne, poprawne rozumowanie.

**Trik:** gdy wykładnik po lewej (\(100\)) jest \(4\times\) większy od prawego (\(25\)), spróbuj zapisu \(a^{100} = (a^4)^{25}\) i porównaj podstawy.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑏 takich, że 𝑏≠1 2 𝑎, prawdziwa jest nierówność
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Liczby rzeczywiste 𝑥 oraz 𝑦 spełniają jednocześnie równanie 𝑥+ 𝑦= 4 i nierówność 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3. Wykaż, że 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2. Wypełnia egzaminato
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (3 pkt) Liczby dodatnie a i b spełniają równość 2 2 2 4 4 a a b b . Wykaż, że 2 a b Poziom rozszerzony MMA_1R A B C M D
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Wykaż, że równanie ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste   8 2 4 2 1 x x x x     1 x 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_