# Matematyka — zadanie 3

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/3
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 3. (0-1)
Suma
24
24
24
24
16
16
16
16
jest równa
A.
24
4
B.
25
4
C.
48
4
D.
49
4
Suma 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} jest równa A. 4^{24}, B. 4^{25}, C. 4^{48}, D. 4^{49}.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(4^{49}\)

## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika i przeliczenie na potęgi czwórki

**Krok 1: Wyłącz wspólny czynnik**

Mamy cztery identyczne składniki, więc:
\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4 \cdot 16^{24}\]

**Krok 2: Zamień 16 na potęgę czwórki**

Zauważamy, że \(16 = 4^2\), więc:
\[16^{24} = \left(4^2\right)^{24} = 4^{2 \cdot 24} = 4^{48}\]

**Krok 3: Wróć do całego wyrażenia**

\[4 \cdot 16^{24} = 4^1 \cdot 4^{48} = 4^{1+48} = \boxed{4^{49}}\]

## Sposób 2 - Sprowadzenie wszystkiego od razu do podstawy 4

Zamiast wyłączać czynnik, od razu zastępujemy każdą liczbę potęgą czwórki.

Skoro \(4 = 4^1\) i \(16 = 4^2\), to:
\[16^{24} + 16^{24} + 16^{24} + 16^{24} = 4^{48} + 4^{48} + 4^{48} + 4^{48}\]

Teraz wyłączamy \(4^{48}\):
\[= 4^{48}\left(1 + 1 + 1 + 1\right) = 4^{48} \cdot 4 = 4^{48} \cdot 4^1 = 4^{49}\]

Wynik ten sam: **\(4^{49}\)**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**

Używamy dwóch reguł działań na potęgach:

\[(a^r)^s = a^{r \cdot s}\]
> Zastosowanie: \(\left(4^2\right)^{24} = 4^{48}\)

\[a^r \cdot a^s = a^{r+s}\]
> Zastosowanie: \(4^1 \cdot 4^{48} = 4^{49}\)

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| **A** \(4^{24}\) | Uczeń pisze \(16^{24} = 4^{24}\), ignorując że \(16 = 4^{\mathbf{2}}\), nie \(4^1\). Gubi się wykładnik przy zamianie podstawy. |
| **B** \(4^{25}\) | Uczeń poprawnie widzi 4 składniki → \(4 \cdot 16^{24}\), ale błędnie liczy \(16^{24} = 4^{24}\) (brak potęgowania wykładnika przez 2). Dostaje \(4^1 \cdot 4^{24} = 4^{25}\). |
| **C** \(4^{48}\) | Uczeń poprawnie przelicza \(16^{24} = 4^{48}\), ale **zapomina** o przemnożeniu przez 4 (sumę czterech wyrazów traktuje jak jeden wyraz). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \(16^{24}\) na potęgę czwórki musisz pomnożyć wykładniki: \(\left(4^2\right)^{24} = 4^{48}\), a NIE \(4^{24}\). To najczęstszy błąd!

> ⚠️ **Uwaga:** Cztery takie same składniki to mnożenie przez 4, nie przez 24 ani przez inne liczby. \(4 = 4^1\) - to też potęga czwórki, która zwiększa wykładnik o 1.

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy dodajesz jednakowe potęgi \(n \cdot a^k = a^1 \cdot a^k = a^{k+1}\) **tylko gdy** \(n = a\). Tu akurat \(n = 4\) i podstawa też jest 4 - korzystamy z \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Zapis jako iloczyn
\[4\cdot 16^{24} = 4^1 \cdot (4^2)^{24} = 4^1 \cdot 4^{48} = 4^{49}.\]

### Sposób 2 - Zamiana \(16 = 4^2\) od razu
\(16^{24} = (4^2)^{24} = 4^{48}\). Sumujemy cztery takie składniki:
\[4\cdot 4^{48} = 4^{49}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(4^{24}\)** - całkowicie błędne (mała potęga).
- **B. \(4^{25}\)** - ktoś obliczył \(4\cdot 4^{24} = 4^{25}\), zapominając że \(16 = 4^2\), nie \(4\).
- **C. \(4^{48}\)** - pominięto mnożenie przez 4 (czyli suma czterech równych składników).

**Pamiętaj:** \(n\cdot a^k \ne a^{nk}\). Tu stosujemy \(4\cdot 4^{48} = 4^{1+48} = 4^{49}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/3)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F3)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu ( ) 3 2 1 W x x ax bx + wiedząc, że ( ) 2 7 W oraz, że reszta z dzielenia ( ) W x przez ( ) 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wielomian 𝑊(𝑥) = 8𝑥3 + 14𝑥2 + 5𝑥+ 3 jest iloczynem wielomianów 𝑃(𝑥) = 2𝑥+ 3 oraz 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wynikiem dzielenia wielomianu 5𝑥ଷ-7𝑥ଶ-4𝑥-4 przez dwumian 𝑥-2 jest trójmian kwadratowy postaci 𝑎𝑥ଶ+ 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od 
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia 𝑥3 -2𝑥2 + 𝑥 jest równa wartości

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_