# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 30. (0-2)
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (
)
n
a
, określonego dla
1
n ≥,
jest równa 30. Ponadto
30
30
a
. Oblicz różnicę tego ciągu.
Odpowiedź:

MPO_1P
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równa 30. Ponadto a_{30}=30. Oblicz różnicę tego ciągu.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: różnica ciągu wynosi \(r = 2\)

## Sposób 1 - Suma przez parę skrajną + wzór na wyraz ogólny

**Krok 1: Wyznacz \(a_1\) ze wzoru na sumę.**

Wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]

Podstawiamy \(S_{30} = 30\), \(n = 30\), \(a_{30} = 30\):
\[30 = \frac{a_1 + 30}{2} \cdot 30\]
\[30 = 15(a_1 + 30)\]
\[a_1 + 30 = 2\]
\[\mathbf{a_1 = -28}\]

**Krok 2: Wyznacz \(r\) ze wzoru na wyraz ogólny.**

\[a_n = a_1 + (n-1)r\]

Dla \(n = 30\):
\[a_{30} = a_1 + 29r\]
\[30 = -28 + 29r\]
\[29r = 58\]
\[\boxed{r = 2}\]

## Sposób 2 - Suma przez pierwszy i ostatni wyraz (wzór alternatywny)

Korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:
\[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\]

Mamy dwa równania:
- ze wzoru na sumę: \(S_{30} = 30\)
- ze wzoru na wyraz ogólny: \(a_{30} = a_1 + 29r = 30\)

Z drugiego równania: \(a_1 = 30 - 29r\)

Podstawiamy do wzoru na sumę:
\[30 = \frac{2(30 - 29r) + 29r}{2} \cdot 30\]
\[30 = \frac{60 - 58r + 29r}{2} \cdot 30\]
\[30 = \frac{60 - 29r}{2} \cdot 30\]
\[1 = \frac{60 - 29r}{2}\]
\[2 = 60 - 29r\]
\[29r = 58\]
\[\boxed{r = 2}\]

**Weryfikacja:** \(a_1 = 30 - 29 \cdot 2 = -28\), \(a_{30} = -28 + 58 = 30\) ✓, \(S_{30} = \frac{-28 + 30}{2} \cdot 30 = 1 \cdot 30 = 30\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10):**

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy dla \(n = 30\), by powiązać \(a_{30}\), \(a_1\) i \(r\).

Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]
Użyliśmy dla \(S_{30}\), by wyznaczyć \(a_1\).

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu suma wynosi 30 i \(a_{30} = 30\) - te same liczby! Łatwo je pomieszać i podstawić pod złą zmienną we wzorze. Zawsze sprawdzaj, co jest sumą \(S_n\), a co wyrazem \(a_n\).

> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \(a_n = a_1 + (n-1)r\) dla \(n = 30\) mamy czynnik \(\mathbf{29}\), nie 30. Klasyczny błąd: \(a_{30} = a_1 + 30r\) - stąd wyszłoby \(r = 2{,}069 \), co jest błędne.

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(r\) zawsze zrób szybką weryfikację - podstaw z powrotem i sprawdź, czy \(S_{30}\) i \(a_{30}\) zgadzają się z treścią zadania.

**Poprawna odpowiedź: \(r = 2\)**

### Sposób 1 (CKE) - Wzór na sumę \(S_n\)
Ze wzoru \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) z karty wzorów:
\[30 = \dfrac{a_1 + a_{30}}{2}\cdot 30 = \dfrac{a_1 + 30}{2}\cdot 30.\]
Stąd \(\dfrac{a_1 + 30}{2} = 1\), czyli \(a_1 + 30 = 2\), więc \(a_1 = -28\).

Z \(a_{30} = a_1 + 29r\):
\[30 = -28 + 29r \Rightarrow 29r = 58 \Rightarrow r = 2.\]

### Sposób 2 - Przez równoważny układ
\(S_{30} = 30a_1 + \tfrac{30\cdot 29}{2}r = 30a_1 + 435r = 30\).
\(a_{30} = a_1 + 29r = 30\).

Z drugiego: \(a_1 = 30 - 29r\). Podstawiamy do pierwszego:
\(30(30 - 29r) + 435r = 30\)
\(900 - 870r + 435r = 30\)
\(900 - 435r = 30\)
\(435r = 870 \Rightarrow r = 2\).

### Uwagi o punktacji (2p)
- **1p**: obliczenie \(a_1 = -28\).
- **2p**: obliczenie różnicy \(r = 2\).

**Trik:** w ciągu arytmetycznym \(S_n = \tfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\) (średnia arytmetyczna × liczba wyrazów) - ten wzór jest kluczowy i często używany.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) W ciągu arytmetycznym   na , dla 1 n , dane są 1 2 a  oraz różnica 3 r . Oblicz największe n takie, że 1 2 2012 n a a a     Odpowie
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15) — Zadanie 15. (0-2) Czterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapi
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-2) Czterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. EMAP
- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_