# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Kombinatoryka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Ze zbioru liczb {
}
15
,
14
,
13
,
12
,
11
,
10
,9
,8
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
losujemy bez zwracania dwa razy
po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (
)
,a b , gdzie a jest wynikiem pierwszego
losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (
)
,a b takich,
że iloczyn ⋅
a b jest liczbą parzystą.
Odpowiedź:

MMA_1P
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę (a,b), gdzie a jest wynikiem pierwszego losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par (a,b) takich, że iloczyn a⋅b jest liczbą parzystą.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: **154**

## Sposób 1 - Dopełnienie (łatwiej liczyć "kiedy iloczyn jest nieparzysty")

**Kluczowa obserwacja:** Iloczyn \(a \cdot b\) jest parzysty, gdy **przynajmniej jedna** z liczb jest parzysta. Trudno to liczyć wprost - łatwiej policzyć, kiedy iloczyn jest **nieparzysty**, a potem odjąć od całości.

**Krok 1: Ile jest wszystkich par \((a, b)\)?**

Losujemy bez zwracania - kolejność ma znaczenie (para \((3, 7)\) to coś innego niż \((7, 3)\)).

\[|\Omega| = 15 \cdot 14 = 210\]

**Krok 2: Podziel zbiór na liczby parzyste i nieparzyste.**

- Nieparzyste: \(\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\}\) - jest ich **8**
- Parzyste: \(\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\}\) - jest ich **7**

**Krok 3: Policz pary, dla których iloczyn jest NIEPARZYSTY.**

Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy **oba** czynniki są nieparzyste:

\[\text{Pary (nieparzysta, nieparzysta)} = 8 \cdot 7 = 56\]

(8 możliwości na pierwsze losowanie, 7 na drugie - bez zwracania)

**Krok 4: Pary z iloczynem parzystym = wszystkie - pary z iloczynem nieparzystym.**

\[\boxed{210 - 56 = 154}\]

## Sposób 2 - Liczenie wprost (trzy przypadki)

Iloczyn \(a \cdot b\) jest parzysty w trzech przypadkach:

| Przypadek | Obliczenie | Liczba par |
| \(a\) - nieparzysta, \(b\) - parzysta | \(8 \cdot 7\) | \(56\) |
| \(a\) - parzysta, \(b\) - nieparzysta | \(7 \cdot 8\) | \(56\) |
| \(a\) - parzysta, \(b\) - parzysta | \(7 \cdot 6\) | \(42\) |
| **Razem** | | **154** |

\[56 + 56 + 42 = \boxed{154}\]

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje bez powtórzeń:
\[\frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)\]
Użyliśmy tego do policzenia liczby wszystkich par: \(15 \cdot 14 = 210\) (wybieramy 2 elementy z 15 z uwzględnieniem kolejności, bez powtórzeń).

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - własność dopełnienia:
\[P(A') = 1 - P(A)\]
Idea Sposobu 1 pochodzi właśnie z tej zasady - zamiast liczyć zdarzenie złożone ("przynajmniej jedna parzysta"), liczymy jego dopełnienie ("obie nieparzyste") i odejmujemy.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Para \((a, b)\) jest **uporządkowana** - \((3, 4)\) i \((4, 3)\) to **dwie różne pary**! Gdybyśmy szukali zbiorów dwuelementowych (nieuporzqdkowanych), całkowita liczba byłaby \(\binom{15}{2} = 105\), a wynik byłby inny.

> ⚠️ **Uwaga:** W zbiorze \(\{1, \ldots, 15\}\) jest **8 liczb nieparzystych** i **7 parzystych** - nie połowa i połowa! Łatwo tu popełnić błąd zakładając symetrię.

> ⚠️ **Uwaga:** "Bez zwracania" oznacza, że \(a \neq b\) - przy liczeniu par (nieparzysta, nieparzysta) bierzemy \(8 \cdot 7\), a **nie** \(8 \cdot 8\). Gdybyśmy brali ze zwracaniem, wynik byłby inny.

**Poprawna odpowiedź: \(154\) par**

### Sposób 1 (CKE) - Przypadki
W zbiorze \(\{1,\ldots,15\}\): liczb parzystych \(= 7\) (czyli \(2,4,6,8,10,12,14\)), nieparzystych \(= 8\).

Iloczyn \(a\cdot b\) parzysty \(\Leftrightarrow\) co najmniej jedna z liczb parzysta. Rozbijamy:
- **obie parzyste** (bez zwracania): \(7\cdot 6 = 42\),
- **\(a\) parzyste, \(b\) nieparzyste**: \(7\cdot 8 = 56\),
- **\(a\) nieparzyste, \(b\) parzyste**: \(8\cdot 7 = 56\).

Razem: \(42 + 56 + 56 = 154\).

### Sposób 2 - Dopełnienie
Wszystkich par bez zwracania: \(15\cdot 14 = 210\).
Pary z iloczynem **nieparzystym** - obie liczby muszą być nieparzyste: \(8\cdot 7 = 56\).
Pary z iloczynem parzystym: \(210 - 56 = 154\).

### Uwagi o punktacji (2p)
- **1p**: obliczenie choć jednego z elementów: \(7\cdot 6 = 42\), \(7\cdot 8 = 56\) lub \(8\cdot 7 = 56\).
- **2p**: podanie wyniku \(154\).

**Trik:** "co najmniej jedna parzysta" = wszystkie pary - "obie nieparzyste". Metoda dopełnienia często znacznie upraszcza rachunki.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (3 pkt) Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15. Odpowiedź: Poziom rozszerzony 15 Oblicz, ile j
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Ze zbioru liczb { } 15 , 14 , 13 , 12 , 11 , 10 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczb
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24) — Zadanie 24. (0-1) Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 5
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dzies

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_