# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 32. (0-4)
Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość
26 . Przekątne w tym trapezie są
prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku
3
:
2
. Oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź:

MPO_1P
Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość √(26). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: 25

To zadanie otwarte - pole trapezu wynosi **25**.

## Sposób 1 - przez trójkąty przy punkcie przecięcia przekątnych

**Krok 1: Ustalenie stosunku podstaw.**

W trapezie \(ABCD\) z podstawami \(AB \parallel CD\), przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(P\). Z podobieństwa trójkątów \(\triangle APB \sim \triangle CPD\) wynika:
\[\frac{AP}{CP} = \frac{BP}{DP} = \frac{AB}{CD}\]

Skoro punkt \(P\) dzieli przekątne w stosunku \(2:3\), to \(AB : CD = 2 : 3\).

**Krok 2: Oznaczenia.**

Niech \(AP = BP = 2k\) oraz \(CP = DP = 3k\) (trójkąt jest równoramienny - przekątne równe, oba podzielone w tym samym stosunku).

**Krok 3: Wyznaczenie \(k\) z długości ramienia.**

Ponieważ przekątne są prostopadłe (\(\angle APD = 90°\)), w prostokątnym trójkącie \(APD\):
\[AD^2 = AP^2 + PD^2 = (2k)^2 + (3k)^2 = 4k^2 + 9k^2 = 13k^2\]
\[AD = k\sqrt{13} = \sqrt{26}\]
\[k^2 = 2 \implies k = \sqrt{2}\]

**Krok 4: Wyznaczenie długości przekątnych.**

\[|AC| = |BD| = AP + PC = 2k + 3k = 5k = 5\sqrt{2}\]

**Krok 5: Pole trapezu - wzór dla prostopadłych przekątnych.**

Gdy przekątne trapezu są prostopadłe, pole wynosi:
\[P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 50 = \boxed{25}\]

## Sposób 2 - przez podstawy i wysokość

**Wyznaczenie podstaw:**

Z prostokątnych trójkątów przy \(P\) (kąt prosty, bo przekątne prostopadłe):
\[AB^2 = AP^2 + BP^2 = (2k)^2 + (2k)^2 = 8k^2 = 16 \implies AB = 4\]
\[CD^2 = CP^2 + DP^2 = (3k)^2 + (3k)^2 = 18k^2 = 36 \implies CD = 6\]

**Wyznaczenie wysokości** (układ współrzędnych):

Umieśćmy trapez symetrycznie względem osi \(y\):
\[A = (-2, h),\quad B = (2, h),\quad C = (3, 0),\quad D = (-3, 0)\]

Przekątna \(AC\): wektor \(\vec{AC} = (5, -h)\).
Przekątna \(BD\): wektor \(\vec{BD} = (-5, -h)\).

Warunek prostopadłości:
\[\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (5)(-5) + (-h)(-h) = -25 + h^2 = 0 \implies h^2 = 25 \implies h = 5\]

Weryfikacja ramienia:
\[AD = \sqrt{(-3-(-2))^2 + (0-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \checkmark\]

**Pole:**
\[P = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{4 + 6}{2} \cdot 5 = 5 \cdot 5 = \boxed{25}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole trapezu:
\[P = \frac{a + b}{2} \cdot h\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do finalnego obliczenia pola.

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[AD^2 = AP^2 + PD^2\]
Użyliśmy do wyznaczenia \(k\) z długości ramienia.

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - prostopadłość wektorów \(a_1 \cdot a_2 = -1\):

W Sposobie 2 - warunek \(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0\) do wyznaczenia wysokości.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \(2:3\) to stosunek **odcinków przekątnej**, a nie podstaw - ale w trapezie te proporcje są równe! Nie mylić: \(AB:CD = AP:PC = 2:3\), bo taki wynika ze wzoru z podobieństwa trójkątów.

> ⚠️ **Uwaga:** W trapezie równoramiennym oba czynniki \(d_1, d_2\) we wzorze \(P = \frac{1}{2}d_1 d_2\) są **równe** (\(d_1 = d_2 = 5\sqrt{2}\)). Łatwo tu pomylić: wzór \(\frac{1}{2}d_1 d_2\) dotyczy **dowolnego** czworokąta z prostopadłymi przekątnymi (np. rombu, deltoid) - i działa też tutaj.

> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczając \(k\), trzeba wziąć ramię (bok boczny \(AD\)), a nie podstawę. Ramię łączy wierzchołki z **różnych** poziomów - stąd trójkąt prostokątny ma nogi \(2k\) i \(3k\), a nie \(2k, 2k\) jak przy obliczaniu \(AB\).

**Poprawna odpowiedź: \(P = 25\)**

### Sposób 1 (CKE) - Pole jako suma dwóch trójkątów
Oznaczmy odcinki przekątnych: krótsze \(= 2x\), dłuższe \(= 3x\) (każda przekątna dzielona w stosunku \(2:3\)). Przekątne są prostopadłe i w trapezie równoramiennym równe długości.

Ramię trapezu łączy dwa końce przekątnych (krótszą część jednej i dłuższą drugiej). Z **twierdzenia Pitagorasa** dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(2x\) i \(3x\) i przeciwprostokątnej \(\sqrt{26}\):
\[(2x)^2 + (3x)^2 = (\sqrt{26})^2\]
\[4x^2 + 9x^2 = 26\]
\[13x^2 = 26 \Rightarrow x = \sqrt{2}.\]

Każda przekątna ma długość \(2x + 3x = 5x = 5\sqrt{2}\).

Przekątne dzielą trapez na \(4\) trójkąty prostokątne (bo są prostopadłe). Pole trapezu = suma dwóch par trójkątów o wysokościach \(2x\) i \(3x\) i podstawie \(5x\):
\[P = \tfrac{1}{2}\cdot 2x\cdot 5x + \tfrac{1}{2}\cdot 3x\cdot 5x = \tfrac{1}{2}\cdot 5x\cdot 5x = \tfrac{25x^2}{2} = \tfrac{25\cdot 2}{2} = 25.\]

### Sposób 2 (CKE) - Pole przez przekątne
W dowolnym czworokącie, którego **przekątne są prostopadłe**: \(P = \tfrac{1}{2}d_1\cdot d_2\). Tu \(d_1 = d_2 = 5\sqrt{2}\):
\[P = \tfrac{1}{2}\cdot (5\sqrt{2})^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 50 = 25.\]

### Uwagi o punktacji (4p)
- **1p**: długości przekątnych wyrażone przez \(x\) (\(5x\) lub odcinki \(2x, 3x\)).
- **2p**: obliczenie \(x = \sqrt{2}\).
- **3p**: długość przekątnych \(5\sqrt{2}\) lub podstawy i wysokość (\(|AB|=6, |CD|=4, h=5\)).
- **4p**: obliczenie pola \(P = 25\).

**Trik:** w czworokącie z prostopadłymi przekątnymi: \(P = \tfrac{1}{2}d_1 d_2\) - pamiętaj ten wzór (np. romb, deltoid, tu trapez).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-5) Dany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷| oraz ramię 𝐵𝐶 ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu 𝑅= 5. M
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-4) Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 5, jest opisany na okręgu. Przekątna 𝐴𝐶 tego czworokąta tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 60°, natomia
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość 26 . Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 3 : 2 
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-r0-100-2305/zad/8) — Zadanie 8. (0-4) Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 5, jest opisany na okręgu. Przekątna 𝐴𝐶 tego czworokąta tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 60°, natomia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_