# Matematyka — zadanie 33 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/33 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 4 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 33. (0-4) Punkty ( ) 2, 8 A = - i ( ) 14, 8 B = są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym AB AC . Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu 1 7 2 y x . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta. Odpowiedź: MMA_1P Punkty A=(-2,-8) i B=(14,-8) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=|AC|. Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y=1/2x-7. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(C = \left(\dfrac{38}{5},\ \dfrac{24}{5}\right)\) ## Sposób 1 - Środek podstawy i punkt przecięcia prostych **Kluczowa obserwacja:** W trójkącie równoramiennym \(|AB| = |AC|\) wierzchołek \(A\) jest „wierzchołkiem kąta przy szczycie". Wysokość z wierzchołka \(A\) na podstawę \(BC\) jest jednocześnie **medianą** - opada dokładnie na środek \(BC\). Zatem \(D\) to środek odcinka \(BC\). **Krok 1. Sprawdź, że \(A\) leży na prostej \(AD\).** \[y = \frac{1}{2} \cdot (-2) - 7 = -1 - 7 = -8 \checkmark\] Punkt \(A = (-2, -8)\) leży na prostej \(y = \dfrac{1}{2}x - 7\). **Krok 2. Wyznacz nachylenie prostej \(BC\).** Prosta \(AD\) ma współczynnik kierunkowy \(a_1 = \dfrac{1}{2}\). Ponieważ \(AD \perp BC\), zachodzi: \[a_2 = -\frac{1}{a_1} = -2\] **Krok 3. Zapisz równanie prostej \(BC\).** Prosta przez \(B = (14, -8)\) o nachyleniu \(-2\): \[y - (-8) = -2(x - 14)\] \[y = -2x + 20\] **Krok 4. Wyznacz punkt \(D\) - przecięcie \(AD\) i \(BC\).** \[\frac{1}{2}x - 7 = -2x + 20\] \[\frac{1}{2}x + 2x = 27\] \[\frac{5}{2}x = 27 \implies x = \frac{54}{5}\] \[y = -2 \cdot \frac{54}{5} + 20 = -\frac{108}{5} + \frac{100}{5} = -\frac{8}{5}\] Zatem \(D = \left(\dfrac{54}{5},\ -\dfrac{8}{5}\right)\). **Krok 5. Wyznacz \(C\) korzystając z warunku \(D = \text{środek } BC\).** \[x_D = \frac{x_B + x_C}{2} \implies \frac{54}{5} = \frac{14 + x_C}{2} \implies 14 + x_C = \frac{108}{5} \implies x_C = \frac{108}{5} - \frac{70}{5} = \frac{38}{5}\] \[y_D = \frac{y_B + y_C}{2} \implies -\frac{8}{5} = \frac{-8 + y_C}{2} \implies -8 + y_C = -\frac{16}{5} \implies y_C = -\frac{16}{5} + \frac{40}{5} = \frac{24}{5}\] \[\boxed{C = \left(\frac{38}{5},\ \frac{24}{5}\right)}\] ## Sposób 2 - Warunek \(|AC| = |AB|\) i przynależność \(C\) do prostej \(BC\) **Krok 1.** Oblicz \(|AB|\): \[|AB| = \sqrt{(14-(-2))^2 + (-8-(-8))^2} = \sqrt{16^2 + 0} = 16\] **Krok 2.** \(C\) leży na prostej \(BC\), czyli \(y = -2x + 20\). Podstaw \(y_C = -2x_C + 20\) do warunku \(|AC| = 16\): \[(x_C + 2)^2 + (y_C + 8)^2 = 256\] \[(x_C + 2)^2 + (-2x_C + 28)^2 = 256\] \[(x_C + 2)^2 + 4(x_C - 14)^2 = 256\] Rozwijam: \[x_C^2 + 4x_C + 4 + 4x_C^2 - 112x_C + 784 = 256\] \[5x_C^2 - 108x_C + 532 = 0\] \[\Delta = 108^2 - 4 \cdot 5 \cdot 532 = 11664 - 10640 = 1024\] \[\sqrt{\Delta} = 32\] \[x_C = \frac{108 \pm 32}{10}\] - \(x_C = \dfrac{140}{10} = 14\) - to punkt \(B\), odrzucamy - \(x_C = \dfrac{76}{10} = \dfrac{38}{5}\) ✓ \[y_C = -2 \cdot \frac{38}{5} + 20 = \frac{24}{5}\] **Wynik:** \(C = \left(\dfrac{38}{5},\ \dfrac{24}{5}\right)\) - **zgodny z Metodą 1** ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** Długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Użyte do obliczenia \(|AB| = 16\) i weryfikacji \(|AC| = 16\). Warunek prostopadłości prostych (równania kierunkowe): \[a_1 \cdot a_2 = -1\] Użyte do wyznaczenia, że \(BC\) ma nachylenie \(-2\), skoro \(AD\) ma nachylenie \(\dfrac{1}{2}\). Równanie prostej przez punkt o danym nachyleniu: \[y - y_0 = a(x - x_0)\] Użyte do zapisania równania prostej \(BC\). Środek odcinka: \[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\] Użyte w Kroku 5 Sposobu 1 do wyznaczenia \(C\) ze środka \(D\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt równoramienny \(|AB| = |AC|\) to NIE to samo co \(|AB| = |BC|\). Wierzchołek „szczytu" to \(A\), więc wysokość z \(A\) bisekuje \(BC\) - sprawdź zawsze, z którego wierzchołka jest wysokość! > ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu przecięcia dwóch prostych łatwo pomylić które równanie to \(AD\), a które to \(BC\). Prostą \(y = \frac{1}{2}x - 7\) zawiera **wysokość** (nie podstawa), więc \(BC\) musi być prostopadła. > ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - jedno to punkt \(B\) (który już znamy), drugie to szukane \(C\). Zawsze sprawdź, które rozwiązanie ma sens geometryczny! **Poprawna odpowiedź: \(C = \left(\dfrac{38}{5}, \dfrac{24}{5}\right)\)** ### Sposób 1 (CKE) - Wysokość prostopadła do \(BC\) i warunek środka Wysokość \(AD\) ma równanie \(y = \tfrac{1}{2}x - 7\), więc współczynnik kierunkowy \(= \tfrac{1}{2}\). Prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AD\), więc ma współczynnik \(-2\). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B(14,-8)\): \[-8 = -2\cdot 14 + b \Rightarrow b = 20.\] Równanie \(BC\): \(y = -2x + 20\). Punkt \(D\) (przecięcie \(AD\) i \(BC\)) spełnia oba równania: \[\tfrac{1}{2}x - 7 = -2x + 20 \Rightarrow \tfrac{5}{2}x = 27 \Rightarrow x = \tfrac{54}{5}.\] \(y = -2\cdot\tfrac{54}{5} + 20 = -\tfrac{108}{5} + \tfrac{100}{5} = -\tfrac{8}{5}\). Zatem \(D = \left(\tfrac{54}{5}, -\tfrac{8}{5}\right)\). Ponieważ trójkąt jest **równoramienny** z \(|AB| = |AC|\), wysokość z wierzchołka \(A\) **do boku \(BC\)** jest jednocześnie **środkową**, czyli \(D\) jest środkiem \(BC\). Stąd: \[\dfrac{x_C + 14}{2} = \tfrac{54}{5} \Rightarrow x_C = \tfrac{108}{5} - 14 = \tfrac{108 - 70}{5} = \tfrac{38}{5},\] \[\dfrac{y_C + (-8)}{2} = -\tfrac{8}{5} \Rightarrow y_C = -\tfrac{16}{5} + 8 = \tfrac{-16 + 40}{5} = \tfrac{24}{5}.\] \[C = \left(\tfrac{38}{5}, \tfrac{24}{5}\right).\] ### Sposób 2 (CKE) - Okrąg + prosta \(|AB| = 16\). Skoro \(|AC| = |AB|\), punkt \(C\) leży na okręgu o środku \(A(-2,-8)\) i promieniu \(16\): \((x+2)^2 + (y+8)^2 = 256\). Ponadto \(C\) leży na prostej \(BC: y = -2x + 20\). Podstawiając: \((x+2)^2 + (28-2x)^2 = 256 \Rightarrow 5x^2 - 108x + 532 = 0\). Pierwiastki: \(x = 14\) (to \(B\)) oraz \(x = \tfrac{38}{5}\), skąd \(y = \tfrac{24}{5}\). ### Uwagi o punktacji (4p) - **1p**: równanie prostej \(BC\): \(y = -2x + 20\) (albo równanie okręgu). - **2p**: układ równań na punkt \(D\). - **3p**: obliczenie \(D = (\tfrac{54}{5}, -\tfrac{8}{5})\) (albo równanie kwadratowe). - **4p**: wyznaczenie \(C = (\tfrac{38}{5}, \tfrac{24}{5})\). **Uwaga** (z oficjalnej odpowiedzi CKE): jeśli zdający potraktuje trójkąt jak równoramienny z \(|AC|=|BC|\) albo założy \(\angle BAC = 90°\), to **otrzymuje 0 punktów** za całe zadanie. **Trik:** w trójkącie równoramiennym \(|AB|=|AC|\) wysokość z wierzchołka \(A\) jest jednocześnie środkową podstawy \(BC\). Skorzystaj z tego! ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/33) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F33) ## Podobne zadania - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (7 pkt) Środek okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 1, 4 A = i ( ) 6, 3 B = - leży na osi Ox. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz równanie - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1 4 𝑥2 -3 2 𝑥+ 1 4 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest licz - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (6 pkt) Punkt ( 2,5) A = - jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , ABC w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zaw - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzcho _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_