# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria, planimetria

## Treść

Zadanie 34. (0-5)
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA B C D
′ ′ ′ ′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego
graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°,
a przekątna BD′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45°. Oblicz pole powierzchni
całkowitej tego graniastosłupa.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′

MPO_1P
Odpowiedź:

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA'B'C'D' jest romb ABCD. Przekątna AC' tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, a przekątna BD' jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem 45°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

Wynik: \(P_c = 64 + 16\sqrt{3}\)

## Sposób 1 - rzut przekątnej przestrzennej na podstawę

**Krok 1: Wyznacz rzut przekątnej \(AC'\) na podstawę**

Przekątna przestrzenna \(AC'\) łączy wierzchołek \(A\) z wierzchołkiem \(C'\) (leżącym dokładnie nad \(C\)). Jej rzut na płaszczyznę podstawy to przekątna rombu \(AC = d_1\).

Trójkąt prostokątny \(AC'C\) ma kąt nachylenia \(30°\) przy \(A\), prostą prostopadłą \(CC' = h\) i pole na hipotenuzie \(AC' = 8\):

\[h = AC' \cdot \sin 30° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]

\[d_1 = AC = AC' \cdot \cos 30° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\]

**Krok 2: Wyznacz drugą przekątną rombu \(BD = d_2\)**

Przekątna \(BD'\) ma ten sam rzut na podstawę co \(BD = d_2\) i nachylenie \(45°\). Z trójkąta prostokątnego \(BD'D\):

\[\tan 45° = \frac{h}{d_2} \implies 1 = \frac{4}{d_2} \implies d_2 = 4\]

**Krok 3: Oblicz bok rombu**

Przekątne rombu przecinają się prostopadle w połowie, więc:

\[a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4\]

**Krok 4: Pole podstawy (rombu)**

\[P_{\text{podstawy}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 4}{2} = 8\sqrt{3}\]

**Krok 5: Pole boczne graniastosłupa**

Obwód rombu: \(O = 4a = 4 \cdot 4 = 16\)

\[P_{\text{boczna}} = O \cdot h = 16 \cdot 4 = 64\]

**Krok 6: Pole powierzchni całkowitej**

\[\boxed{P_c = 2P_{\text{podstawy}} + P_{\text{boczna}} = 2 \cdot 8\sqrt{3} + 64 = 64 + 16\sqrt{3}}\]

## Sposób 2 - przez tangens kąta nachylenia

Zamiast rozkładać na sin/cos, używamy od razu tangensów.

Dla \(AC'\) z nachyleniem \(30°\):
\[\tan 30° = \frac{h}{d_1} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d_1} \implies d_1 = h\sqrt{3}\]

Z wzoru na długość \(AC'\):
\[|AC'|^2 = d_1^2 + h^2 = 3h^2 + h^2 = 4h^2\]
\[64 = 4h^2 \implies h = 4\]

Stąd: \(d_1 = 4\sqrt{3}\) ✓

Dla \(BD'\) z nachyleniem \(45°\):
\[\tan 45° = \frac{h}{d_2} = 1 \implies d_2 = h = 4\] ✓

Dalej identycznie jak w Sposobie 1: \(P_c = 64 + 16\sqrt{3}\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**

Graniastosłup prosty:
\[P_b = O_p \cdot h, \quad V = P_p \cdot h\]
Użyliśmy wzoru na pole boczne: \(P_b = O \cdot h = 16 \cdot 4 = 64\).

**Dział 10 (Planimetria - czworokąty, s. 20-21)**

Pole rombu przez przekątne:
\[P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\]
Użyliśmy do obliczenia pola każdej podstawy.

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**

\[\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 45° = 1\]
Do wyznaczenia \(h\), \(d_1\) i \(d_2\) z kątów nachylenia.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Policzono pole tylko jednej podstawy zamiast dwóch (\(P_c = 8\sqrt{3} + 64\) zamiast \(16\sqrt{3} + 64\)) |
| C | Błędne wyznaczenie \(d_2\): pomieszano \(\tan\) z \(\sin\) lub \(\cos\) przy kącie \(45°\), np. \(d_2 = h/\sin 45° = 4\sqrt{2}\) |
| D | Wyznaczono \(h\) z kąta \(45°\) i \(|BD'|\) (zamiast z kąta \(30°\) i \(|AC'|\)), odwracając dane dla obu przekątnych |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Rzut przekątnej przestrzennej \(AC'\) na podstawę to **przekątna rombu** \(AC\), a nie bok. Łatwo pomylić ze ścianą boczną!

> ⚠️ **Uwaga:** Bok rombu \(\neq\) połowa przekątnej. Bok wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa: \(a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2}\). Tu wychodzi pięknie \(a = 4\).

> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni **całkowitej** to dwie podstawy + boczna. Zdarzają się błędy polegające na pominięciu jednej z podstaw lub wzięciu tylko pola bocznego.

**Poprawna odpowiedź: \(P_c = 16\sqrt{3} + 64 = 16(\sqrt{3} + 4)\)**

### Sposób 1 (CKE) - Trygonometria w trójkątach prostokątnych
**Krok 1 - trójkąt \(ACC'\)** (kąt prosty w \(C\), \(\angle C'AC = 30°\), \(|AC'| = 8\)):
- \(|AC| = 8\cos 30° = 8\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\),
- \(|CC'| = 8\sin 30° = 4\) (wysokość graniastosłupa \(h = 4\)).

**Krok 2 - trójkąt \(BDD'\)** (kąt prosty w \(D\), \(\angle D'BD = 45°\), \(|DD'| = h = 4\)):
Trójkąt jest równoramienny prostokątny (kąt \(45°\)), więc \(|BD| = |DD'| = 4\).

**Krok 3 - bok rombu \(a\)**
Przekątne rombu dzielą się na połowy pod kątem prostym: \(|AE| = \tfrac{|AC|}{2} = 2\sqrt{3}\), \(|BE| = \tfrac{|BD|}{2} = 2\).
Z Pitagorasa:
\[a^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 \Rightarrow a = 4.\]

**Krok 4 - pole powierzchni całkowitej**
- Pole rombu (podstawy): \(P_{ABCD} = \tfrac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD| = \tfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4 = 8\sqrt{3}\).
- Pole ściany bocznej: \(a\cdot h = 4\cdot 4 = 16\). Ścian jest \(4\): \(P_b = 4\cdot 16 = 64\).

\[P_c = 2P_{ABCD} + P_b = 2\cdot 8\sqrt{3} + 64 = 16\sqrt{3} + 64 = 16(\sqrt{3} + 4).\]

### Sposób 2 - Wykorzystanie szczególnych trójkątów
Trójkąt \(ACC'\): \(30°\text{-}60°\text{-}90°\) z przeciwprostokątną \(8\), więc boki \(= 4\) i \(4\sqrt{3}\). Trójkąt \(BDD'\): \(45°\text{-}45°\text{-}90°\), skoro \(h = 4\), to \(|BD| = 4\) i \(|BD'| = 4\sqrt{2}\). Dalej jak w Sposobie 1.

### Uwagi o punktacji (5p)
- **1p**: obliczenie \(|AC| = 4\sqrt{3}\) lub \(h = 4\) lub zapis \(|BD|=|DD'|\).
- **2p**: obliczenie \(|BD| = 4\).
- **3p**: obliczenie pola podstawy \(P_{ABCD} = 8\sqrt{3}\).
- **4p**: obliczenie \(a = 4\) lub \(P_c\) z błędami rachunkowymi.
- **5p**: obliczenie \(P_c = 16\sqrt{3} + 64\).

**Trik:** w zadaniach z graniastosłupem i kątami nachylenia do podstawy - każda przekątna tworzy trójkąt prostokątny: podstawą jest rzut przekątnej (przekątna podstawy), drugą przyprostokątną wysokość graniastosłupa.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA B C D ′ ′ ′ ′ jest romb ABCD. Przekątna AC′ tego graniastosłupa ma długość 8 i jest nachylona do płaszc
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-5) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstaw
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym 𝐴𝐵𝐶𝑆 podstawa 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 6√2𝜋,

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_