# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy

## Treść

Zadanie 4. (0-1)
Liczba
3
3
log 27
log 1
jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Liczba log_3 27 - log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Liczba \(\log_3 27 - \log_3 1\) jest równa **\(3\)**.

## Sposób 1 - Obliczenie z definicji logarytmu

**Krok 1: Oblicz \(\log_3 27\)**

Pytamy: *do jakiej potęgi trzeba podnieść \(3\), żeby dostać \(27\)?*

\[3^? = 27 = 3^3 \implies \log_3 27 = 3\]

**Krok 2: Oblicz \(\log_3 1\)**

Pytamy: *do jakiej potęgi trzeba podnieść \(3\), żeby dostać \(1\)?*

\[3^? = 1 = 3^0 \implies \log_3 1 = 0\]

**Krok 3: Odejmij**

\[\log_3 27 - \log_3 1 = 3 - 0 = \mathbf{3}\]

## Sposób 2 - Własność logarytmu ilorazu

Zamiast liczyć oba logarytmy osobno, możemy skorzystać ze wzoru na logarytm ilorazu:

\[\log_3 27 - \log_3 1 = \log_3 \frac{27}{1} = \log_3 27\]

Teraz obliczamy jeden logarytm:

\[\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3 \cdot \log_3 3 = 3 \cdot 1 = \mathbf{3}\]

(skorzystaliśmy ze wzoru \(\log_a x^r = r \cdot \log_a x\) oraz \(\log_3 3 = 1\))

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**

Definicja logarytmu:
\[\log_a b = c \iff a^c = b\]
Użyliśmy tego do wyznaczenia \(\log_3 27 = 3\) i \(\log_3 1 = 0\).

Własność logarytmu potęgi:
\[\log_a x^r = r \cdot \log_a x\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do uproszczenia \(\log_3 3^3 = 3\).

Własność logarytmu ilorazu:
\[\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do połączenia różnicy logarytmów.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\(0\)) | Uczeń liczy \(\log_3 27 - \log_3 27\) zamiast \(\log_3 27 - \log_3 1\), albo błędnie myśli, że \(\log_3 1 = 1\) i \(\log_3 27 - 1\) daje \(0\) przez jakiś skrót myślowy |
| B (\(1\)) | Uczeń myli \(\log_3 1 = 1\) (zamiast \(0\)) i liczy \(3 - 2 = 1\) lub \(3 - 1 = 1\) myląc \(\log_3 27 = 2\) |
| C (\(2\)) | Podwójny błąd: \(\log_3 27 = 2\) (pomylono z \(\log_3 9\)) i \(\log_3 1 = 0\), co daje \(2 - 0 = 2\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(\log_3 1 = 0\) zawsze - niezależnie od podstawy! Każda liczba w potędze \(0\) daje \(1\), więc \(\log_a 1 = 0\) dla każdego \(a > 0, a \neq 1\).

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(\log_3 27\) z \(\log_3 9\). Sprawdź: \(3^2 = 9\), \(3^3 = 27\) - tu odpowiedź to \(3\), nie \(2\)!

> ⚠️ **Uwaga:** \(\log_3 3 = 1\) (nie \(3\)!) - logarytm z podstawy do niej samej zawsze wynosi \(1\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Obliczenie każdego logarytmu
\(\log_3 27 = 3\) (bo \(3^3 = 27\)), a \(\log_a 1 = 0\) dla dowolnej podstawy.
\[\log_3 27 - \log_3 1 = 3 - 0 = 3.\]

### Sposób 2 - Własność \(\log_a x - \log_a y = \log_a \tfrac{x}{y}\)
\[\log_3 27 - \log_3 1 = \log_3 \tfrac{27}{1} = \log_3 27 = 3.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(0\)** - ktoś myślał, że \(\log_3 27 = 1\) i \(\log_3 1 = 1\) (błąd).
- **B. \(1\)** - pomyłka w obliczeniu \(\log_3 27\).
- **C. \(2\)** - ktoś obliczył \(\log_3 27 = 2\) (błąd: \(3^2 = 9\), nie \(27\)).

**Pamiętaj:** \(\log_a 1 = 0\) dla **każdej** podstawy \(a > 0\), \(a \ne 1\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) Czy liczba 𝟐𝟕 𝟕𝟑𝟑 jest podzielna przez 𝟑? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3. A. Tak, ponieważ 1. cyfrą jednoś
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (1 pkt) Liczba 2 log 2 jest równa A. 2 B. 4 C. D.
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Liczba 3 3 log 27 log 1 jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Liczba log_3 27 - log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 3.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_