# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Wyrażenia algebraiczne

## Treść

Zadanie 5. (0-1)
Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie
6
3
2
3
x
x
- jest równe
A. (
)(
)
3
2
1
3
x
x
B. (
)(
)
3
3
3
1
x
x
C. (
)(
)
2
4
3
1
x
x
D. (
)(
)
4
2
1
3
x
x
Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie x^6-2x^3-3 jest równe A. (x^3+1)(x^2-3), B. (x^3-3)(x^3+1), C. (x^2+3)(x^4-1), D. (x^4+1)(x^2-3).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\[(x^3-3)(x^3+1)\]

## Sposób 1 - Podstawienie \(t = x^3\)

Zauważamy, że wyrażenie \(x^6 - 2x^3 - 3\) zawiera tylko potęgi \(x^6 = (x^3)^2\) i \(x^3\). To klasyczny sygnał do podstawienia.

Podstawiamy \(t = x^3\):

\[x^6 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\]

Teraz mamy zwykły trójmian kwadratowy względem \(t\). Szukamy dwóch liczb, których **suma** wynosi \(-2\), a **iloczyn** wynosi \(-3\).

Takie liczby to \(-3\) i \(+1\), bo:
\[(-3) + 1 = -2 \quad \text{i} \quad (-3) \cdot 1 = -3\]

Zatem:
\[t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1)\]

Wracamy do \(x\) - zamieniamy \(t\) z powrotem na \(x^3\):

\[\boxed{(x^3 - 3)(x^3 + 1)}\]

## Sposób 2 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego

Traktujemy \(t^2 - 2t - 3\) jako trójmian kwadratowy \(at^2 + bt + c\) z \(a=1, b=-2, c=-3\).

Liczymy wyróżnik:
\[\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]

Miejsca zerowe:
\[t_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
\[t_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Postać iloczynowa trójmianu (współczynnik \(a = 1\)):
\[t^2 - 2t - 3 = 1 \cdot (t - t_1)(t - t_2) = (t - (-1))(t - 3) = (t+1)(t-3)\]

Podstawiamy \(t = x^3\):
\[(x^3 + 1)(x^3 - 3) = (x^3 - 3)(x^3 + 1)\]

**Wynik ten sam: odpowiedź B.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i miejsca zerowe:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac\]
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozłożenia trójmianu \(t^2 - 2t - 3\) na czynniki.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wyrażenie | Błąd |
| A | \((x^3+1)(x^2-3)\) | Stopnie czynników nie zgadzają się: \((x^3+1)(x^2-3)\) daje wyraz \(x^5\), a w wyniku mnożenia nie może wyjść \(x^6 - 2x^3 - 3\) (brak \(x^5\) OK, ale \(x^2 \cdot x^3 = x^5\) się pojawia). Sprawdzenie: \(x^3 \cdot x^2 - 3x^3 + x^2 - 3 = x^5 - 3x^3 + x^2 - 3\) - to nie jest nasze wyrażenie. |
| C | \((x^2+3)(x^4-1)\) | Mnożenie: \(x^6 - x^2 + 3x^4 - 3 = x^6 + 3x^4 - x^2 - 3\). Pojawia się \(x^4\) i \(x^2\), których nie ma w oryginale. |
| D | \((x^4+1)(x^2-3)\) | Mnożenie: \(x^6 - 3x^4 + x^2 - 3\). Znowu pojawiają się \(x^4\) i \(x^2\) - błąd. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^6 = (x^3)^2\), NIE \((x^2)^3\) w sensie podstawienia - tutaj kluczowe jest zobaczenie \(x^3\) jako jednej zmiennej, bo wtedy wykładniki to 2 i 1, nie 3 i 1.

> ⚠️ **Uwaga:** Po rozłożeniu na czynniki zawsze sprawdź stopnie! Odpowiedzi A, C, D mają czynniki różnych stopni - ich iloczyn dałby wyrazy pośrednie (np. \(x^5\), \(x^4\)), których nie ma w \(x^6 - 2x^3 - 3\). To szybki sposób na eliminację dystraktorów.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy powrocie z podstawienia pamiętaj: \(t_1 = -1\) daje czynnik \((t - (-1)) = (t+1) = (x^3+1)\), a nie \((x^3-1)\). Pomylenie znaku to klasyczny błąd!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Podstawienie \(t = x^3\)
Wyrażenie \(x^6 - 2x^3 - 3 = (x^3)^2 - 2x^3 - 3 = t^2 - 2t - 3\). Rozkładamy trójmian kwadratowy:
\(t^2 - 2t - 3 = (t-3)(t+1)\).
Wracamy: \((x^3 - 3)(x^3 + 1)\).

### Sposób 2 - Sprawdzenie wzorem Viète'a
Szukamy dwóch liczb, których suma to \(2\) a iloczyn \(-3\): to \(3\) i \(-1\). Zatem \(t^2 - 2t - 3 = (t - 3)(t - (-1)) = (t-3)(t+1)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((x^3+1)(x^2-3)\)** - wykładnik \(x^2\) daje po rozwinięciu \(x^5\), a nie \(x^6\).
- **C. \((x^2+3)(x^4-1)\)** - rozwija się do \(x^6 + 3x^4 - x^2 - 3\), co jest różne od \(x^6 - 2x^3 - 3\).
- **D. \((x^4+1)(x^2-3)\)** - rozwinięcie daje \(x^6 + x^2 - 3x^4 - 3\), nie to wyrażenie.

**Trik:** gdy widzisz wykładnik \(2n\) i \(n\), podstaw \(t = x^n\) i rozwiąż jako trójmian kwadratowy.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu ( ) 3 2 1 W x x ax bx + wiedząc, że ( ) 2 7 W oraz, że reszta z dzielenia ( ) W x przez ( ) 
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wielomian 𝑊(𝑥) = 8𝑥3 + 14𝑥2 + 5𝑥+ 3 jest iloczynem wielomianów 𝑃(𝑥) = 2𝑥+ 3 oraz 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Wynikiem dzielenia wielomianu 5𝑥ଷ-7𝑥ଶ-4𝑥-4 przez dwumian 𝑥-2 jest trójmian kwadratowy postaci 𝑎𝑥ଶ+ 𝑏𝑥+ 𝑐. W poniższe kratki wpisz kolejno - od 
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia 𝑥3 -2𝑥2 + 𝑥 jest równa wartości

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_