# Matematyka — zadanie 6 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/6 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności ## Treść Zadanie 6. (0-1) Wartość wyrażenia ( ) 2 b a dla 2 3 a = i 75 b = jest równa A. 9 B. 27 C. 63 D. 147 MPO_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Wartość wyrażenia (b-a)^2 dla a=2√3 i b=√(75) jest równa A. 9, B. 27, C. 63, D. 147. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(27\) ## Sposób 1 - Uproszczenie pierwiastka i podstawienie **Krok 1: Uprość \(b = \sqrt{75}\)** \[b = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\] **Krok 2: Zapisz obie wartości w tej samej formie** \[a = 2\sqrt{3}, \qquad b = 5\sqrt{3}\] Obie wartości mają wspólny "czynnik" \(\sqrt{3}\) - to klucz do szybkiego odejmowania. **Krok 3: Oblicz \(b - a\)** \[b - a = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\] **Krok 4: Podnieś do kwadratu** \[(b-a)^2 = \left(3\sqrt{3}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 = 9 \cdot 3 = \mathbf{27}\] ## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (bez upraszczania) Obliczamy \(a^2\), \(b^2\) i \(ab\), korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: \[(b-a)^2 = b^2 - 2ab + a^2\] \[a^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\] \[b^2 = (\sqrt{75})^2 = 75\] \[ab = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{75} = 2\sqrt{3 \cdot 75} = 2\sqrt{225} = 2 \cdot 15 = 30\] \[(b-a)^2 = 75 - 2 \cdot 30 + 12 = 75 - 60 + 12 = \mathbf{27}\] Oba sposoby dają ten sam wynik - **potwierdzenie: \(27\)**. ## Wzory z karty CKE **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**: \[\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a\] Użyliśmy tych własności w obu sposobach - do upraszczania \(\sqrt{75}\) i podnoszenia pierwiastka do kwadratu. **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**: \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] Zastosowany wprost w Sposobie 2. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A - \(9\) | Uczeń oblicza \((b-a)^2 = (3\sqrt{3})^2\) i bierze wynik \(3^2 = 9\), zapominając pomnożyć przez \((\sqrt{3})^2 = 3\) | | C - \(63\) | Uczeń oblicza \(b^2 - a^2 = 75 - 12 = 63\) zamiast \((b-a)^2\) - myli potęgę różnicy z różnicą potęg | | D - \(147\) | Uczeń oblicza \((b+a)^2 = (7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147\) - dodaje zamiast odejmować | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(\sqrt{75}\) nie jest "ładną" liczbą, ale rozkład \(75 = 25 \cdot 3\) pozwala zapisać \(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\) - zawsze szukaj pełnego kwadratu pod pierwiastkiem! > ⚠️ **Uwaga:** \((b-a)^2 \neq b^2 - a^2\). To bardzo częsty błąd! Różnica kwadratów to \((b-a)(b+a)\), a kwadrat różnicy to \((b-a)^2 = b^2 - 2ab + a^2\). > ⚠️ **Uwaga:** \((3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27\), **nie** \(9\). Potęga działa na obie części iloczynu! **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Upraszczamy \(b\) \(\sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}\). Zatem: \[b - a = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3},\] \[(b-a)^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9\cdot 3 = 27.\] ### Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia \((b-a)^2 = b^2 - 2ab + a^2\), gdzie: - \(a^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12\), - \(b^2 = (\sqrt{75})^2 = 75\), - \(2ab = 2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3} = 20\cdot 3 = 60\). Wynik: \(75 - 60 + 12 = 27\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(9\)** - ktoś obliczył \(3\sqrt{3}\) jako \(3\), a potem \(3^2 = 9\) (zapomniał o \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3\)). - **C. \(63\)** - błąd przy \(2ab\), np. zapomniano o 2 lub pomylono \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\). - **D. \(147\)** - ktoś obliczył \((b+a)^2 = (7\sqrt{3})^2 = 147\) (zły znak). **Trik:** zawsze najpierw upraszczaj pierwiastki (\(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)) - odejmowanie staje się prostsze. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/6) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F6) ## Podobne zadania - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3 - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b = - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_