# Matematyka — zadanie 8 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/8 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Układy równań, parametr ## Treść Zadanie 8. (0-1) Rozwiązaniem układu równań 1 x y x y b  -  z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że A. 1 b < - B. 1 b = - C. 1 1 b -< < D. 1 b ≥ Rozwiązaniem układu równań {x+y=1 x-y=b} z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że A. b<-1, B. b=-1, C. -1 0\) i \(y > 0\): \[x > 0 \iff \frac{1+b}{2} > 0 \iff 1 + b > 0 \iff b > -1\] \[y > 0 \iff \frac{1-b}{2} > 0 \iff 1 - b > 0 \iff b < 1\] Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie: \[b > -1 \quad \text{i} \quad b < 1 \implies \boxed{-1 < b < 1}\] ## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna / podejście przez nierówności wprost Mamy dwie proste: - \(x + y = 1\) - prosta o nachyleniu \(-1\), przecinająca osie w punktach \((1,0)\) i \((0,1)\) - \(x - y = b\) - prosta o nachyleniu \(1\) (równoległa do \(y = x\)), przesunięta o \(b\) Punkt przecięcia leży w **pierwszej ćwiartce** (obie współrzędne dodatnie) wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(\left(\frac{1+b}{2},\, \frac{1-b}{2}\right)\) spełnia \(x > 0\) i \(y > 0\). Geometrycznie: przecięcie obu prostych wędruje wzdłuż prostej \(x + y = 1\). Gdy \(b\) rośnie, punkt przecięcia przesuwa się w prawo i w dół. Wychodzi z I ćwiartki: - przez punkt \((0, 1)\) gdy \(b = -1\) (wtedy \(x = 0\) - na granicy) - przez punkt \((1, 0)\) gdy \(b = 1\) (wtedy \(y = 0\) - na granicy) Wniosek identyczny: \(-1 < b < 1\). **Weryfikacja przykładem:** dla \(b = 0\): \(x = \frac{1}{2}\), \(y = \frac{1}{2}\) - obydwie dodatnie. ✓ Dla \(b = 1\): \(x = 1\), \(y = 0\) - \(y\) nie jest dodatnie. ✗ ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność rozwiązania układu dwóch równań liniowych metodą dodawania/odejmowania stronami oraz podstawowe nierówności. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A | Uczeń zapomina sprawdzić oba warunki i bierze tylko jeden z nich - np. tylko \(y > 0\), ale z błędnym kierunkiem nierówności: \(\frac{1-b}{2} > 0 \Rightarrow b < 1\), a potem myli się i odwraca znak | | B | Uczeń bierze wartość graniczną (\(b = -1\)) zamiast przedziału otwartego; nie rozumie, że przy \(b = -1\) mamy \(x = 0\), co **nie jest** liczbą dodatnią | | D | Uczeń myli warunki: zamiast \(x > 0\) i \(y > 0\) stawia \(x > 0\) lub \(y > 0\), albo po prostu odwraca nierówność przy dzieleniu | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Liczba dodatnia to \(x > 0\) - zero **nie jest** liczbą dodatnią! Odpowiedzi B i D zawierają wartości graniczne \(b = -1\) lub \(b = 1\), przy których jedna ze zmiennych równa się dokładnie \(0\). > ⚠️ **Uwaga:** Oba warunki (\(x > 0\) **i** \(y > 0\)) muszą zachodzić jednocześnie - to iloczyn logiczny, nie alternatywa. Wynikowy przedział to **część wspólna** \(b > -1\) i \(b < 1\). > ⚠️ **Uwaga:** Nie ma tu żadnego parametru pod pierwiastkiem ani ułamka w mianowniku - układ ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie (proste nie są równoległe), więc nie trzeba analizować istnienia rozwiązania, tylko jego znak. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Rozwiązanie układu i warunki Dodając równania: \(2x = 1 + b \Rightarrow x = \dfrac{1+b}{2}\). Odejmując: \(2y = 1 - b \Rightarrow y = \dfrac{1-b}{2}\). Obie liczby dodatnie: \[x > 0 \Leftrightarrow 1 + b > 0 \Leftrightarrow b > -1,\] \[y > 0 \Leftrightarrow 1 - b > 0 \Leftrightarrow b < 1.\] Razem: \(-1 < b < 1\). ### Sposób 2 - Sprawdzenie granicznych przypadków - Dla \(b = 0\): \(x = y = \tfrac{1}{2} > 0\) ✓ (zawiera się w C, nie w A, B, D). - Dla \(b = 1\): \(y = 0\), nie dodatnia - wyklucza D. - Dla \(b = -1\): \(x = 0\), nie dodatnia - wyklucza B i A. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(b < -1\):** wtedy \(x < 0\) - sprzeczność. - **B. \(b = -1\):** wtedy \(x = 0\) - niedodatnie. - **D. \(b \geq 1\):** wtedy \(y \leq 0\) - niedodatnie. **Trik:** z \(x+y=1\) obie liczby dodatnie wymuszają, że obie są \(< 1\), więc ich różnica \(|b| < 1\). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/8) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F8) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi % 60 liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Suma dwóch liczb jest równa 7 , a ich różnica 3 . Oblicz iloczyn tych liczb. Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Poziom podstawowy 5 - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) W wyborach na przewodniczącego klasy kandydowało troje uczniów: Jacek, Helena i Grzegorz. Każdy uczeń tej klasy oddał jeden ważny głos. Jacek - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (0-1) W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więce _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_