# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje, funkcja kwadratowa

## Treść

Zadanie 9. (0-1)
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
( )
2
f x
x
bx
c
+ oraz
(
)
( )
1
3
1
f
f
Współczynnik b jest równy
A.
2
B.
1
C. 0
D. 3
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=x^2+bx+c oraz f(-1)=f(3)=1. Współczynnik b jest równy A. -2, B. -1, C. 0, D. 3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A (\(b = -2\))

## Sposób 1 - Oś symetrii paraboli

Wiemy, że \(f(-1) = f(3) = 1\), czyli parabola przyjmuje **tę samą wartość** w dwóch różnych punktach.

**Kluczowe spostrzeżenie:** jeśli \(f(x_1) = f(x_2)\) przy \(x_1 \neq x_2\), to oś symetrii paraboli przebiega dokładnie w połowie między \(x_1\) a \(x_2\).

\[p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Oś symetrii paraboli \(f(x) = ax^2 + bx + c\) jest dana wzorem \(p = -\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a = 1\), więc:

\[1 = -\frac{b}{2 \cdot 1}\]

\[2 = -b\]

\[\boxed{b = -2}\]

## Sposób 2 - Układ równań

Podstawiamy dane warunki bezpośrednio do wzoru \(f(x) = x^2 + bx + c\):

**Warunek \(f(-1) = 1\):**
\[(-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 1\]
\[1 - b + c = 1\]
\[-b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = b \tag{I}\]

**Warunek \(f(3) = 1\):**
\[3^2 + b \cdot 3 + c = 1\]
\[9 + 3b + c = 1\]
\[3b + c = -8 \tag{II}\]

Podstawiamy \((I)\) do \((II)\):
\[3b + b = -8\]
\[4b = -8\]
\[\boxed{b = -2}\]

(Dla porządku: \(c = b = -2\), więc \(f(x) = x^2 - 2x - 2\).)

**Weryfikacja:**
\[f(-1) = 1 + 2 - 2 = 1 \checkmark\]
\[f(3) = 9 - 6 - 2 = 1 \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii paraboli:
\[p = -\frac{b}{2a}\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - wiedząc, gdzie leży oś symetrii, od razu wyznaczyliśmy \(b\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B: \(-1\) | Uczeń liczy oś symetrii błędnie: \(p = \frac{-1 + 3}{2} = 1\), ale potem wstawia \(p = -\frac{b}{2}\) i pomija znak, dostając \(b = -1\) zamiast \(b = -2\) |
| C: \(0\) | Uczeń myli warunek \(f(-1) = f(3)\) z symetrią względem \(x = 0\); błędnie przyjmuje, że \(-1\) i \(3\) są symetryczne względem zera |
| D: \(3\) | Uczeń po prostu odczytuje \(x_2 = 3\) jako wartość \(b\) - brak jakiegokolwiek rachunku |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \(f(x_1) = f(x_2)\), oś symetrii to \(p = \frac{x_1 + x_2}{2}\) - to prawda tylko wtedy, gdy \(x_1 \neq x_2\). Nie mylic z tym, że \(x_1\) i \(x_2\) to miejsca zerowe!

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na oś symetrii to \(p = -\frac{b}{2a}\) - minusik przed \(b\) jest kluczowy. Pomylenie znaku to najczęstszy błąd w tym typie zadania.

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 po wyznaczeniu \(b\) warto zawsze podstawić z powrotem i sprawdzić oba warunki - to zajmuje 10 sekund i daje pewność poprawnego wyniku.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Oś symetrii paraboli
Ponieważ \(f(-1) = f(3)\), punkty \(-1\) i \(3\) są symetryczne względem osi symetrii paraboli. Oś przechodzi przez \(x = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1\).

Ze wzoru \(x_w = -\dfrac{b}{2a}\), gdzie \(a = 1\): \(1 = -\dfrac{b}{2} \Rightarrow b = -2\).

### Sposób 2 - Układ równań
\(f(-1) = 1 - b + c = 1\) oraz \(f(3) = 9 + 3b + c = 1\).
Odejmując: \(8 + 4b = 0 \Rightarrow b = -2\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(-1\)** - wtedy oś symetrii \(x = \tfrac{1}{2}\), nie \(1\).
- **C. \(0\)** - oś symetrii \(x = 0\) - nie pasuje.
- **D. \(3\)** - oś symetrii \(x = -\tfrac{3}{2}\) - nie pasuje.

**Trik:** gdy \(f(x_1) = f(x_2)\) dla funkcji kwadratowej, oś symetrii to \(x = \tfrac{x_1+x_2}{2}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-173%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_