# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcje, planimetria

## Treść

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x) = x^{2} + bx + c\).

Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-174/z10.png

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem 2 f ( x ) = x + bx + c . Współczynniki b i c spełniają warunki:

A. \(b < 0\), \(c > 0\)
B. \(b < 0\), \(c < 0\)
C. \(b > 0\), \(c > 0\)
D. \(b > 0\), \(c < 0\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

**b < 0, c > 0**

## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: punkt na osi OY i wierzchołek

Z rysunku odczytujemy dwa fakty:

**Fakt 1: Parabola przecina oś OY powyżej początku układu.**

Wartość funkcji w punkcie \(x = 0\):
\[f(0) = 0^2 + b \cdot 0 + c = c\]

Skoro wykres przecina oś OY powyżej \((0, 0)\), to \(f(0) > 0\), czyli:
\[\boxed{c > 0}\]

**Fakt 2: Wierzchołek paraboli leży w IV ćwiartce (x > 0, y < 0).**

Oś symetrii paraboli wyznacza x-współrzędną wierzchołka:
\[p = -\frac{b}{2a} = -\frac{b}{2 \cdot 1} = -\frac{b}{2}\]

Skoro wierzchołek jest po prawej stronie osi OY, to \(p > 0\):
\[-\frac{b}{2} > 0 \implies b < 0\]

\[\boxed{b < 0}\]

**Wniosek:** \(b < 0\) i \(c > 0\) - odpowiedź **A**.

## Sposób 2 - Analiza przez miejsca zerowe i wzory Viète'a

Z wykresu wynika, że:
- \(f(0) = c > 0\) (parabola jest powyżej osi OX w punkcie \(x = 0\))
- Wierzchołek leży poniżej osi OX (\(y_W < 0\))

Skoro parabola otwiera się ku górze, jest dodatnia przy \(x = 0\), a w wierzchołku jest ujemna - **musi przecinać oś OX w dwóch punktach**, obydwu po prawej stronie osi OY (bo przy \(x = 0\) jest jeszcze dodatnia, a minimum jest na prawo od OY).

Oznacza to, że oba pierwiastki \(x_1, x_2 > 0\).

Stosujemy wzory Viète'a (dla \(f(x) = x^2 + bx + c\), czyli \(a = 1\)):
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -b\]

Skoro \(x_1 > 0\) i \(x_2 > 0\), to suma jest dodatnia:
\[-b > 0 \implies b < 0\]

\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = c\]

Skoro \(x_1 > 0\) i \(x_2 > 0\), to iloczyn jest dodatni:
\[c > 0\]

Wynik: \(b < 0\), \(c > 0\) - odpowiedź **A**. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:
\[p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia znaku \(b\) z położenia wierzchołka.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia znaków \(b\) i \(c\) przez analizę pierwiastków.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| **B** | Uczeń poprawnie widzi \(b < 0\), ale myli kierunek przecięcia osi OY - zakłada, że wierzchołek w IV ćwiartce oznacza \(c < 0\). Tymczasem \(c = f(0)\) to wartość wykresu przy \(x = 0\), niezależna od wierzchołka. |
| **C** | Uczeń myli stronę osi symetrii - widzi wierzchołek po prawej stronie i błędnie wnioskuje \(b > 0\). Wzór \(p = -b/2\): jeśli \(p > 0\), to \(b\) musi być ujemne. |
| **D** | Podwójny błąd - uczeń odwraca znak zarówno \(b\) (błąd osi symetrii), jak i \(c\) (błędny odczyt przecięcia z OY). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na oś symetrii to \(p = -\frac{b}{2a}\). Wierzchołek po **prawej** stronie (\(p > 0\)) oznacza \(b < 0\) - minus przed ułamkiem! Uczniowie nagminnie zapominają o tym minusie i wnioskują odwrotnie.

> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \(c\) to **zawsze** \(f(0)\) - dosłownie miejsce, gdzie parabola przecina oś OY. Nie mylić z y-współrzędną wierzchołka! Wierzchołek może być w IV ćwiartce (\(y_W < 0\)), a jednocześnie \(c = f(0) > 0\) - i właśnie taka sytuacja jest na tym rysunku.

> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze dwa fakty osobno: (1) gdzie parabola przecina OY → to daje znak \(c\); (2) po której stronie OY jest wierzchołek → to daje znak \(b\). Nie mylić tych dwóch informacji ze sobą.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Analiza wykresu (miejsca zerowe dodatnie)
Z rysunku: parabola ma ramiona do góry (\(a=1>0\)), oba miejsca zerowe \(x_{1}, x_{2}\) są **dodatnie** (na prawo od 0).

**Współczynnik \(c\) = wartość \(f(0)\):** z rysunku parabola przecina oś \(OY\) powyżej \(0\) (wraca w górę przed dotknięciem osi). Czyli \(c > 0\).

Można to potwierdzić wzorami Viete'a (karta wzorów): \(c = x_{1}\cdot x_{2}\). Oba dodatnie, więc \(c > 0\).

**Współczynnik \(b\):** \(-\tfrac{b}{2a} = x_{w} > 0\) (wierzchołek na prawo od osi \(OY\)). Z \(a=1\): \(-\tfrac{b}{2}>0 \Rightarrow b<0\).

### Sposób 2 - Wzory Viete'a
\[x_{1}+x_{2} = -\dfrac{b}{a} = -b, \quad x_{1}\cdot x_{2} = \dfrac{c}{a} = c.\]
Oba pierwiastki dodatnie, więc:
- suma \(x_{1}+x_{2} > 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow b < 0\);
- iloczyn \(x_{1}\cdot x_{2} > 0 \Rightarrow c > 0\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(c<0\)** - oznaczałoby, że parabola przecina oś \(OY\) poniżej \(0\), czyli jeden pierwiastek ujemny (nie zgadza się z rysunkiem).
- **C. \(b>0\)** - wtedy wierzchołek byłby w lewej półpłaszczyźnie (\(x_{w}<0\)).
- **D.** - sprzeczne z rysunkiem w obu warunkach.

**Trik:** \(c = f(0)\) - zawsze sprawdzaj, gdzie wykres przecina oś \(OY\). Znak \(b\) zależy od położenia wierzchołka.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/1) — Zadanie 1. (6 pkt) Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. a) Podaj dziedzinę funkcji f. b) Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji f. c) Odczytaj wartoś
- [Zadanie 13.1](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13.1) — Zadanie 13.1. (0-2) Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. Dziedziną funkcji 𝑓 jest 
- [Zadanie 13.1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13.1) — Zadanie 13.1. (0-1) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Współczynnik 𝑎 we wzorze
- [Zadanie 11.2](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11.2) — Zadanie 11.2. (0-1) Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑔, powstałej w wyniku przesunięcia równoległego w

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_