# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 11. (0-1)
Dany jest ciąg arytmetyczny (
)
na
, określony dla
1
n ≥, o którym wiemy, że:
2
1 =
a
i
9
2 =
a
Wtedy
79
na =
dla
A.
10
n =
B.
11
n =
C.
12
n =
D.
13
n =
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla n ≥ 1, o którym wiemy, że: a_1=2 i a_2=9. Wtedy a_n=79 dla A. n=10; B. n=11; C. n=12; D. n=13.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C (\(n = 12\))

## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego

**Krok 1: wyznaczamy różnicę ciągu.**

Z definicji ciągu arytmetycznego:
\[r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7\]

**Krok 2: zapisujemy wzór ogólny.**

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 2 + (n-1) \cdot 7\]

**Krok 3: szukamy \(n\) takiego, że \(a_n = 79\).**

\[2 + (n-1) \cdot 7 = 79\]
\[(n-1) \cdot 7 = 77\]
\[n - 1 = 11\]
\[\boxed{n = 12}\]

## Sposób 2 - weryfikacja i podejście "zliczanie kroków"

**Weryfikacja:** Sprawdzamy, czy \(a_{12} = 79\):
\[a_{12} = 2 + (12-1) \cdot 7 = 2 + 11 \cdot 7 = 2 + 77 = 79 \checkmark\]

**Alternatywnie - zliczanie kroków:**

Pytamy: ile razy musimy dodać \(r = 7\), żeby dojść od \(a_1 = 2\) do \(79\)?

\[79 - 2 = 77, \qquad \frac{77}{7} = 11 \text{ kroków}\]

Każdy krok to jeden następny wyraz - **11 kroków od pierwszego wyrazu** oznacza wyraz **12.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
gdzie \(a_1\) - pierwszy wyraz, \(r\) - różnica ciągu.

Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \(n\) po podstawieniu \(a_n = 79\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\(n=10\)) | Policzono \(\frac{79}{7} \approx 11\) i zaokrąglono w dół, ignorując \(a_1 = 2\) |
| B (\(n=11\)) | Poprawnie wyliczono 11 kroków, ale utożsamiono liczbę kroków z numerem wyrazu (o 1 za mało) |
| D (\(n=13\)) | Podobny błąd co w B - o 1 za dużo, np. pomyłka w przekształceniu \(n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12\) zapisana jako \(n = 13\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Liczba kroków ≠ numer wyrazu! Żeby dojść do \(a_n\), wykonujemy \(n-1\) dodań różnicy - nie \(n\). To najpopularniejszy błąd w tym typie zadania.

> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę wyznaczaj zawsze jako \(r = a_2 - a_1\), nie \(a_1 - a_2\). Pomylenie kolejności zmienia znak i cały wynik.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zweryfikować wynik - podstaw obliczone \(n\) do wzoru i sprawdź, czy dostaniesz \(79\). Zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzór na \(n\)-ty wyraz (karta wzorów: \(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\))
Różnica ciągu: \(r = a_{2} - a_{1} = 9 - 2 = 7\).

Podstawiamy do wzoru:
\[a_{n} = 2 + (n-1)\cdot 7 = 79,\]
\[(n-1)\cdot 7 = 77,\]
\[n - 1 = 11,\]
\[n = 12.\]

### Sposób 2 - Liczenie wyrazów
Ciąg: \(2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79\). \(79\) jest \(12\)-tym wyrazem.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(n=10\):** \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\), nie \(79\).
- **B. \(n=11\):** \(a_{11} = 2 + 10\cdot 7 = 72\).
- **D. \(n=13\):** \(a_{13} = 2 + 12\cdot 7 = 86\).

**Trik:** We wzorze \(a_{n} = a_{1}+(n-1)r\) uważaj na \((n-1)\), nie \(n\) - to najczęstsza pułapka.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_