# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (
)
81, 3 , 4
x
. Stąd
wynika, że
A.
18
x =
B.
6
x =
C.
85
6
x =
D.
6
85
x =
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81,3x,4). Stąd wynika, że A. x = 18; B. x = 6; C. x = 85/6; D. x = 6/85;

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(x = 6\)

## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat dowolnego wyrazu środkowego równa się iloczynowi jego sąsiadów:
\[a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\]

Dla naszego ciągu \((81,\ 3x,\ 4)\) środkowym wyrazem jest \(3x\), a jego sąsiadami są \(81\) i \(4\). Zatem:
\[(3x)^2 = 81 \cdot 4\]
\[9x^2 = 324\]
\[x^2 = 36\]
\[x = 6 \quad \text{lub} \quad x = -6\]

Ponieważ wyrazy ciągu mają być **dodatnie**, sprawdzamy:
- \(x = 6\): wyrazy to \(81, 18, 4\) - wszystkie dodatnie ✓
- \(x = -6\): wyraz \(3x = -18 < 0\) - odpada ✗

**Zatem \(x = 6\).**

## Sposób 2 - ze stałego ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz \(q\) jest stały, czyli:
\[\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}\]

Podstawiamy:
\[\frac{3x}{81} = \frac{4}{3x}\]

Mnożymy obie strony przez \(81 \cdot 3x\) (zakładamy \(x \neq 0\)):
\[(3x)^2 = 81 \cdot 4\]
\[9x^2 = 324\]
\[x^2 = 36\]
\[x = 6 \quad (\text{bo wyrazy dodatnie})\]

**Weryfikacja:** Dla \(x = 6\) ciąg to \((81, 18, 4)\). Iloraz:
\[q = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}, \qquad \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \checkmark\]

Iloraz stały - to rzeczywiście ciąg geometryczny.

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:
\[(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\]
Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(x = 18\): uczeń może pomylić się i wziąć \(3x = 54\), sprawdzając np. \(81 - 54 = 27\), \(54 - 4 = 50\) (myślenie arytmetyczne zamiast geometrycznego). Albo po prostu zgaduje środek jako \(\frac{81+4}{2} \approx 42\). |
| C | \(x = \frac{85}{6}\): uczeń obliczył \(3x = 81 + 4 = 85\), czyli wzięł **średnią arytmetyczną** zamiast geometrycznej - klasyczne mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym. |
| D | \(x = \frac{6}{85}\): to odwrotność odpowiedzi C - wynik pomylenia i dodatkowego odwrócenia ułamka. |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „wyrazy dodatnie" eliminuje \(x = -6\). Bez tego warunku równanie \(x^2 = 36\) daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdzaj, czy wszystkie wyrazy spełniają założenia zadania.

> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego to **średnia geometryczna** sąsiadów (\(\sqrt{a \cdot b}\)), NIE arytmetyczna (\(\frac{a+b}{2}\)). To najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.

> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz ciągu to \(3x\), nie \(x\) - łatwo zapomnieć i rozwiązywać \(x^2 = 324\) zamiast \((3x)^2 = 324\), otrzymując błędnie \(x = 18\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Własność średniej geometrycznej (karta wzorów)
W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: \(a_{2}^{2} = a_{1}\cdot a_{3}\):
\[(3x)^{2} = 81 \cdot 4,\]
\[9x^{2} = 324,\]
\[x^{2} = 36,\]
\[x = 6\text{ lub } x = -6.\]

Ponieważ ciąg ma wyrazy dodatnie, musi być \(3x > 0\), więc \(x = 6\).

### Sposób 2 - Iloraz ciągu geometrycznego
\(q = \dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \dfrac{a_{3}}{a_{2}}\), czyli \(\dfrac{3x}{81} = \dfrac{4}{3x}\).

\(9x^{2} = 81\cdot 4 = 324 \Rightarrow x^{2} = 36 \Rightarrow x = 6\) (dodatnie).

Sprawdzenie: ciąg \((81, 18, 4)\), iloraz \(= \tfrac{18}{81} = \tfrac{2}{9}\), a \(\tfrac{4}{18} = \tfrac{2}{9}\) ✓.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(x=18\)** - wtedy środkowy wyraz \(3x = 54\), ale \(54^{2} = 2916 \ne 324\).
- **C. \(x=\tfrac{85}{6}\)** - pomyłka z ciągiem arytmetycznym: \(3x = \tfrac{81+4}{2} = \tfrac{85}{2}\) daje \(x = \tfrac{85}{6}\).
- **D. \(x=\tfrac{6}{85}\)** - odwrotność błędu z C.

**Trik:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego = pierwiastek z iloczynu sąsiadów (średnia geometryczna).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_