# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Zadanie 13. (0-1)
Kąt α jest ostry i spełniona jest równość
7
6
2
sin
α
. Stąd wynika, że
A.
49
24
cos
α
B.
7
5
cos
α
C.
49
25
cos
α
D.
7
6
5
cos
α

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sinα = 2√6/7. Stąd wynika, że A. cosα = 24/49; B. cosα = 5/7; C. cosα = 25/49; D. cosα = 5√6/7.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(\cos\alpha = \dfrac{5}{7}\)

## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna

Z **jedynki trygonometrycznej** wiemy, że dla każdego kąta:

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

Podstawiamy dane \(\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{7}\):

\[\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1\]

\[\frac{4 \cdot 6}{49} + \cos^2\alpha = 1\]

\[\frac{24}{49} + \cos^2\alpha = 1\]

\[\cos^2\alpha = 1 - \frac{24}{49} = \frac{49}{49} - \frac{24}{49} = \frac{25}{49}\]

\[\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{49}} = \pm\frac{5}{7}\]

Ponieważ kąt \(\alpha\) jest **ostry** (należy do I ćwiartki), cosinus jest dodatni:

\[\boxed{\cos\alpha = \frac{5}{7}}\]

## Sposób 2 - weryfikacja przez trójkąt prostokątny

Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym.

Z definicji \(\sin\alpha = \dfrac{\text{przeciwprostokątna kateta}}{\text{przyprostokątna}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{7}\).

Przyjmujemy: **przeciwległą kateta** \(= 2\sqrt{6}\), **przeciwprostokątna** \(= 7\).

Obliczamy przyległą kateta z twierdzenia Pitagorasa:

\[b^2 = 7^2 - (2\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25\]

\[b = 5\]

Stąd:

\[\cos\alpha = \frac{b}{c} = \frac{5}{7}\]

Wynik zgodny - **\(\cos\alpha = \dfrac{5}{7}\)**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \(\cos\alpha\) ze znajomości \(\sin\alpha\).

**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń obliczył \(\cos^2\alpha = \dfrac{24}{49}\) i zapomniał go odjąć od 1 - wziął \(\sin^2\alpha\) za wynik końcowy |
| C | Uczeń poprawnie obliczył \(\cos^2\alpha = \dfrac{25}{49}\), ale zapomniał wyciągnąć pierwiastka - podał \(\cos^2\alpha\) zamiast \(\cos\alpha\) |
| D | Uczeń pomylył wzór - być może "wziął pierwiastek" z \(\sin\alpha\) lub pomylił działania na ułamkach z pierwiastkami |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl \(\cos\alpha\) z \(\cos^2\alpha\)! Odpowiedź C to właśnie \(\cos^2\alpha = \dfrac{25}{49}\) - pułapka dla tych, którzy zapomną wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj znak cosinus! Gdyby kąt był rozwarty (II ćwiartka), cosinus byłby ujemny. Tu mamy kąt **ostry**, więc \(\cos\alpha > 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2\) pamiętaj, że podniesiesz do kwadratu CAŁY licznik: \((2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24\), nie \(2 \cdot 6 = 12\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów: \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\))
\[\sin^{2}\alpha = \left(\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\right)^{2} = \dfrac{4\cdot 6}{49} = \dfrac{24}{49}.\]
\[\cos^{2}\alpha = 1 - \dfrac{24}{49} = \dfrac{49-24}{49} = \dfrac{25}{49}.\]
\[\cos\alpha = \pm\sqrt{\dfrac{25}{49}} = \pm\dfrac{5}{7}.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha > 0\): \(\cos\alpha = \dfrac{5}{7}\).

### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\(\sin\alpha = \tfrac{\text{przyprost. przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \tfrac{2\sqrt{6}}{7}\).

Z tw. Pitagorasa: \(b^{2} = 7^{2} - (2\sqrt{6})^{2} = 49 - 24 = 25\), czyli \(b = 5\).

\[\cos\alpha = \dfrac{b}{7} = \dfrac{5}{7}.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{24}{49}\)** - to \(\sin^{2}\alpha\), nie \(\cos\alpha\).
- **C. \(\tfrac{25}{49}\)** - to \(\cos^{2}\alpha\), zapomniany pierwiastek.
- **D. \(\tfrac{5\sqrt{6}}{7}\)** - mylne "zamienienie" licznika (\(2\sqrt{6}\) na \(5\sqrt{6}\)) bez rachunku.

**Trik:** Jedynka trygonometryczna + kąt ostry (znak \(+\)) - zadanie standardowe.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_