# Matematyka — zadanie 14 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/14 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 14. (0-1) Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121°, a kąt BOC ma miarę 40°. Kąt AOB ma miarę A. 59° B. 50° C. 81° D. 78° Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121°, a kąt BOC° ma miarę 40°. Kąt AOB ma miarę A. 59°; B. 50°; C. 81°; & D. 78°; ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(78°\) ## Sposób 1 - przez miary łuków Kluczowe obserwacje: - Kąt środkowy **równa się** mierze łuku, który subtenduje. - Kąt wpisany **równa się połowie** miary łuku, który subtenduje. **Krok 1.** Kąt \(BOC = 40°\) to kąt środkowy - odpowiada mu łuk \(BC\) o mierze \(40°\). **Krok 2.** Kąt wpisany \(ABC = 121°\) subtenduje łuk \(AC\) **nie zawierający** punktu \(B\). Zatem łuk \(AC\) niezawierający \(B\): \[\text{łuk}_{AC} = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 121° = 242°\] **Krok 3.** Pełne koło to \(360°\), więc łuk \(AC\) **zawierający** \(B\) (czyli łuk \(AB\) + łuk \(BC\)) wynosi: \[360° - 242° = 118°\] **Krok 4.** Łuk \(AB\) = łuk zawierający \(B\) minus łuk \(BC\): \[\text{łuk}_{AB} = 118° - 40° = 78°\] **Krok 5.** Kąt środkowy \(AOB\) = miara łuku \(AB\): \[\boxed{\angle AOB = 78°}\] ## Sposób 2 - przez kąt środkowy \(AOC\) **Krok 1.** Kąt wpisany \(ABC = 121°\) subtenduje łuk \(AC\) nie zawierający \(B\), któremu odpowiada **wklęsły (refleks)** kąt środkowy \(AOC\): \[\angle AOC_{\text{refleks}} = 2 \cdot 121° = 242°\] **Krok 2.** Kąt wypukły \(AOC\) (ten „normalny", po stronie bez \(B\)): \[\angle AOC = 360° - 242° = 118°\] **Krok 3.** Punkt \(B\) leży na mniejszym łuku \(AC\), więc ramiona \(OA\) i \(OC\) obejmują \(OB\): \[\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\] \[118° = \angle AOB + 40°\] \[\boxed{\angle AOB = 78°}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym: > Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, gdy oba subtendują ten sam łuk. > \[\angle_{\text{środkowy}} = 2 \cdot \angle_{\text{wpisany}}\] Użyliśmy tego w obu sposobach: kąt \(ABC = 121°\) → łuk \(AC\) niezawierający \(B\) = \(242°\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Wynik | Typowy błąd | | A | \(59°\) | Wzięto dopełnienie kąta wpisanego: \(180° - 121° = 59°\), zapominając o mnożeniu ×2 przy przejściu na łuk | | B | \(50°\) | Odjęto \(40°\) od błędnie policzonego \(\angle AOC\), np. wyliczono łuk \(AC = 90°\) i odjęto \(40°\) | | C | \(81°\) | Wprost odjęto dane kąty: \(121° - 40° = 81°\) - bez żadnego twierdzenia o kącie wpisanym | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \(> 90°\) oznacza, że subtenduje **łuk większy niż półokrąg** (łuk \(> 180°\)). Środek \(O\) leży **na zewnątrz** kąta \(ABC\). Łatwo tu pomylić, który łuk subtenduje kąt wpisany. > ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy odpowiadający kątowi wpisanemu \(121°\) to **refleksowy** kąt \(242°\) (czyli „ta większa część" wokół środka). Dopiero jego dopełnienie \(360° - 242° = 118°\) to zwykły kąt \(AOC\). > ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu dodawać ani odejmować podanych kątów (\(121°\) i \(40°\)) bez użycia twierdzenia o kącie wpisanym - to dwa różne typy kątów (wpisany i środkowy)! **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Trójkąty równoramienne i suma kątów w czworokącie Z rysunku: punkt \(B\) leży na okręgu między \(A\) a \(C\) (na dłuższym łuku). Trójkąt \(OBC\) jest równoramienny (\(|OB|=|OC|=r\)), \(\sphericalangle BOC = 40^{\circ}\): \[\sphericalangle OBC = \sphericalangle OCB = \dfrac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}.\] Znamy \(\sphericalangle ABC = 121^{\circ}\), więc \(\sphericalangle ABO = 121^{\circ} - 70^{\circ} = 51^{\circ}\). Trójkąt \(OAB\) równoramienny: \(\sphericalangle OAB = \sphericalangle OBA = 51^{\circ}\). \[\sphericalangle AOB = 180^{\circ} - 2\cdot 51^{\circ} = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ}.\] ### Sposób 2 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym (karta wzorów) Dla okręgu: kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt \(ABC\) (wpisany) \(= 121^{\circ}\) jest oparty na łuku \(AC\) **nie zawierającym** \(B\). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku = \(2\cdot 121^{\circ} = 242^{\circ}\) (refleksyjny). Kąt środkowy \(AOC\) (niewypukły kąt na łuku \(AC\) zawierającym \(B\)) = \(360^{\circ} - 242^{\circ} = 118^{\circ}\). \(\sphericalangle AOC = \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOC\) (bo \(B\) leży na łuku \(AC\) tego kąta): \[\sphericalangle AOB = 118^{\circ} - 40^{\circ} = 78^{\circ}.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(59^{\circ}\)** - \(180^{\circ}-121^{\circ} = 59\) (kąty uzupełniające na prostej, nieprawidłowe podejście). - **B. \(50^{\circ}\)** - \(121^{\circ}-71^{\circ}\) lub inny błąd rachunkowy. - **C. \(81^{\circ}\)** - \(121-40=81\) (proste odejmowanie bez analizy). **Trik:** Zawsze rysuj promienie od środka i szukaj trójkątów równoramiennych - mają dwa równe kąty. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/14) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F14) ## Podobne zadania - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Równoległobok ABCD zbudowano z czterech przystających trójkątów prostokątnych (patrz rysunek). Boki równoległoboku mają długości |AB| = 24 cm - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny oraz kwadrat mają równe pola. Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia. x OMAP-100- - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2018-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/16) — Zadanie 16. (0-2) Prostokąt ABCD o wymiarach 7 cm i 8 cm rozcięto wzdłuż prostej a na dwa trapezy tak, jak pokazano na rysunku. Odcinek CL ma długość 3,2 cm. Po - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Punkt 𝐾 jest punktem przecięcia cięciwy 𝐴𝐶 i średnicy 𝐵𝐷. Kąt 𝐶𝑂𝐵 jest prosty, a ką _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_