# Matematyka — zadanie 15 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/15 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: open - punkty: 1 - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 15. (0-1) W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto 4 AE DE , 6 AB = (zobacz rysunek). Odcinek CE ma długość A. 16 3 B. 8 3 C. 8 D. 6 W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE| = |DE| = 4, |AB| = 6 (zobacz rysunek). Odcinek CE ma długość A. 16/3; B. 8/3; C. 8; D. 6. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(|CE| = 8\) ## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów **Zauważamy:** Ponieważ \(DE \parallel AB\), trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(CAB\) (AA: kąt \(C\) wspólny + kąty odpowiadające przy prostych równoległych są równe). Wyznaczamy współczynnik podobieństwa: \[k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] Z podobieństwa wynika proporcja boków: \[\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{2}{3}\] Zapisujemy \(|CA| = |CE| + |AE| = |CE| + 4\) i podstawiamy: \[\frac{|CE|}{|CE| + 4} = \frac{2}{3}\] Rozwiązujemy równanie: \[3 \cdot |CE| = 2 \cdot (|CE| + 4)\] \[3|CE| = 2|CE| + 8\] \[\boxed{|CE| = 8}\] ## Sposób 2 - Stosunek odcinków z Twierdzenia Talesa Skoro \(DE \parallel AB\) i \(\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{2}{3}\), to \(\frac{|AE|}{|CA|} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\). Czyli odcinki \(CE\) i \(AE\) mają się do siebie jak \(2:1\): \[\frac{|CE|}{|AE|} = \frac{2}{1}\] **Stąd bezpośrednio:** \[|CE| = 2 \cdot |AE| = 2 \cdot 4 = \boxed{8}\] **Weryfikacja:** \(|CA| = 8 + 4 = 12\), \(\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{4}{6}\). ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:** Jeśli \(DE \parallel AB\) w trójkącie \(CAB\), to: \[\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|CD|}{|CB|} = \frac{|DE|}{|AB|}\] Z tego wprost wynika podobieństwo trójkątów \(CDE \sim CAB\) z współczynnikiem \(k = \frac{|DE|}{|AB|}\). Użyliśmy tego w obu sposobach do ustawienia proporcji. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości | | A. \(\frac{16}{3}\) | Uczeń błędnie przyjmuje \(\|CA\| = \|AE\| + \|DE\| = 4 + 4 = 8\) (myli odcinek \(DE\) z odcinkiem na prostej \(CA\)), a następnie liczy \(\|CE\| = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}\) | | B. \(\frac{8}{3}\) | Uczeń myli stosunek i pisze \(\frac{\|CE\|}{\|AE\|} = \frac{\|DE\|}{\|AB\|} = \frac{2}{3}\), stąd \(\|CE\| = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\) (zamiast \(\frac{\|CE\|}{\|CA\|} = \frac{2}{3}\)) | | D. \(6\) | Uczeń odwraca stosunek: \(\frac{\|CE\|}{\|AE\|} = \frac{\|AB\|}{\|DE\|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\), stąd \(\|CE\| = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Proporcja z Twierdzenia Talesa łączy \(|CE|\) z **całym** \(|CA|\), a nie z samym \(|AE|\). Najczęstszy błąd to pisanie \(\frac{|CE|}{|AE|} = \frac{|DE|}{|AB|}\) zamiast \(\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|DE|}{|AB|}\). > ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo dotyczy trójkątów \(CDE\) i \(CAB\) (wierzchołek \(C\) jest wspólny - wychodzi "od góry"). Nie ma tu podobieństwa trójkąta \(CDE\) do trójkąta np. \(EAB\) czy \(DBE\). > ⚠️ **Uwaga:** Kuszące jest myślenie, że skoro \(|AE| = |DE| = 4\), to odcinek \(AED\) jest równoramienny i trzeba coś liczyć z trójkątem. To nie pomaga - wystarczy sam stosunek podobieństwa z \(DE \parallel AB\). **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (karta wzorów) Ponieważ \(DE \parallel AB\), trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(CBA\) (cecha kkk). Stosunek podobieństwa: \(\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\). Z proporcji odcinków: \(\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{2}{3}\). Oznaczmy \(CE = x\). Wtedy \(CA = CE + EA = x + 4\). Równanie: \[\dfrac{x}{x+4} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3x = 2x + 8 \Rightarrow x = 8.\] ### Sposób 2 - Twierdzenie Talesa \(DE \parallel AB\) + prosta \(CA\) (i \(CB\)) przecina obie równoległe: \[\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{CD}{DB},\] a stosunek podobieństwa daje \(\dfrac{CE+EA}{EA}\cdot DE = AB\), czyli \(\dfrac{CE+4}{4}\cdot 4 = 6\) Lepiej: \(\dfrac{CE}{CE+EA} = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{4}{6}\), stąd \(6CE = 4(CE+4) \Rightarrow 2CE = 16 \Rightarrow CE = 8\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\tfrac{16}{3}\)** - gdyby użyć błędnej proporcji \(\tfrac{CE}{EA} = \tfrac{4}{6}\): \(CE = \tfrac{4\cdot 4}{?}\)? Pomyłka proporcyjna. - **B. \(\tfrac{8}{3}\)** - podobna pomyłka ze stosunkiem. - **D. \(6\)** - brano długość \(AB\) zamiast liczyć. **Trik:** Rysuj trójkąty obok siebie z zaznaczonymi "odpowiednimi" bokami - unikniesz pomyłek w proporcji. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/15) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F15) ## Podobne zadania - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2020-egzamin-osmoklasisty/zad/20) — Zadanie 20. (0-3) Boisko szkolne ma kształt prostokąta o wymiarach 46 m i 30 m. Postanowiono posiać na nim trawę. Do obsiania 40 m2 powierzchni jest potrzebny j - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) Na trawniku w kształcie kwadratu o boku długości 9 metrów wytyczono kwietnik w kształcie prostokąta tak, że jego boki są równoległe do boków t - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/13) — Zadanie 13. (0-1) Przekątna 𝐴𝐷 dzieli pięciokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 na trójkąt 𝐴𝐷𝐸 i na kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Pole trójkąta 𝐴𝐷𝐸 jest równe 28, a wysokość poprowadzon - [Zadanie 22.2](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2508/zad/22.2) — Dany jest trójkąt ABC , w którym |AB| = 6 , |AC| = 4 oraz |∡CAB| = \(60^{\circ}\) /matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-100-2508/z22_2.png . C 4 \(60^{\circ}\) A 6 B D _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_