# Matematyka — zadanie 16

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/16
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 16. (0-1)
Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe 6 3 . Bok tego trójkąta ma długość
A. 3 2
B. 2 3
C. 2 6
D. 6 2
A
B
C
D
E
6
4
4
A
B
C
O

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe 6√3. Bok tego trójkąta ma długość A. 3√2; B. 2√3; C. 2√6; D. 6√2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - \(2\sqrt{6}\)

## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego

**Wiemy, że** pole trójkąta równobocznego o boku \(a\) wyraża się wzorem:
\[P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

**Podstawiamy** dane pole \(P = 6\sqrt{3}\):
\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}\]

**Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\)** (skracamy):
\[\frac{a^2}{4} = 6\]

**Mnożymy przez 4:**
\[a^2 = 24\]

**Wyciągamy pierwiastek** (bok musi być dodatni):
\[a = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\]

**Odpowiedź: \(a = 2\sqrt{6}\)** ✓

## Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego na pole (podstawa × wysokość)

Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wyraża się wzorem:
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Pole trójkąta:
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Dochodzimy do tego samego wyrażenia, więc dalej jak w Sposobie 1. Wynik: \(a = 2\sqrt{6}\).

**Weryfikacja:** podstawiamy \(a = 2\sqrt{6}\) do wzoru na pole:
\[P = \frac{(2\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{24\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - Trójkąt równoboczny o boku \(a\):
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
Użyliśmy wzoru na pole bezpośrednio do wyznaczenia boku.

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastka:
\[\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\]

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \(3\sqrt{2}\) | Policzono \(a^2 = 18\) zamiast \(24\) - np. pominięto \(\sqrt{3}\) w mianowniku przy skracaniu |
| B - \(2\sqrt{3}\) | Pomylono wzory: użyto \(P = \frac{a^2}{4}\) bez czynnika \(\sqrt{3}\), co daje \(a^2 = 24\sqrt{3}\), a następnie błędne upraszczanie |
| D - \(6\sqrt{2}\) | Błąd przy upraszczaniu: \(\sqrt{24}\) mylnie zapisano jako \(6\sqrt{2}\) (zapomniano wyciągnąć \(\sqrt{4} = 2\), wzięto \(\sqrt{36}\) zamiast \(\sqrt{4}\)) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wzoru na pole trójkąta równobocznego z trójkątem prostokątnym - wzór \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) dotyczy **tylko** trójkąta **równobocznego**.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \(\sqrt{24}\) - zawsze szukaj **największego** czynnika będącego pełnym kwadratem: \(24 = 4 \cdot 6\), więc \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\). Błędem jest zatrzymanie się na \(\sqrt{4 \cdot 6}\) bez wyciągnięcia \(2\) przed pierwiastek.

> ⚠️ **Uwaga:** Po skróceniu \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}\) dziel przez \(\sqrt{3}\) na początku - to najprostszy krok. Nie mnóż od razu przez 4, bo łatwo o błąd rachunkowy z \(\sqrt{3}\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta równobocznego (karta wzorów: \(P = \tfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\))
\[\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} \;\big/ \cdot 4\]
\[a^{2}\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \;\big/ :\sqrt{3}\]
\[a^{2} = 24 \Rightarrow a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.\]

### Sposób 2 - Sprawdzenie
Dla \(a = 2\sqrt{6}\): \(a^{2} = 24\), \(P = \tfrac{24\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}\) ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(3\sqrt{2}\):** \(a^{2} = 18\), \(P = \tfrac{18\sqrt{3}}{4} = 4{,}5\sqrt{3} \ne 6\sqrt{3}\).
- **B. \(2\sqrt{3}\):** \(a^{2} = 12\), \(P = 3\sqrt{3}\).
- **D. \(6\sqrt{2}\):** \(a^{2} = 72\), \(P = 18\sqrt{3}\).

**Trik:** Upraszczaj pierwiastek: \(\sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt{6}\), a nie \(2\sqrt{3}\) lub \(3\sqrt{2}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/16)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F16)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_