# Matematyka — zadanie 17 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/17 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 17. (0-1) Punkty ( ) 2,4 B = - i ( ) 5,1 C = są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A. 29 B. 40 C. 58 D. 74 Punkty B=(-2,4) i C=(5,1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe kwadratu jest równe A. 29, B. 40, C. 58, D. 74. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(58\) ## Sposób 1 - Długość boku ze wzoru na odległość W kwadracie wszystkie boki są równe, więc wystarczy znaleźć długość jednego boku - na przykład \(BC\). Znamy: \(B = (-2, 4)\), \(C = (5, 1)\). **Krok 1.** Obliczamy odległość \(|BC|\): \[|BC| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(5-(-2))^2 + (1-4)^2}\] \[|BC| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}\] **Krok 2.** Pole kwadratu o boku \(a = \sqrt{58}\): \[P = a^2 = \left(\sqrt{58}\right)^2 = \mathbf{58}\] ## Sposób 2 - Wektor boku i wyznaczenie wszystkich wierzchołków Zamiast korzystać bezpośrednio ze wzoru, skonstruujmy cały kwadrat i zweryfikujemy wynik wzorem Shoelace'a. **Krok 1.** Wyznaczamy wektor \(\overrightarrow{BC}\): \[\overrightarrow{BC} = [5 - (-2),\ 1 - 4] = [7,\ -3]\] **Krok 2.** Obracamy \(\overrightarrow{BC}\) o \(90°\) (daje bok prostopadły, czyli \(\overrightarrow{AB}\)): Obrót o \(90°\) w lewo: \([a, b] \mapsto [-b, a]\), czyli \([7, -3] \mapsto [3, 7]\). **Krok 3.** Wyznaczamy brakujące wierzchołki: \[A = B - \overrightarrow{AB} = (-2 - 3,\ 4 - 7) = (-5,\ -3)\] \[D = C - \overrightarrow{AB} = (5 - 3,\ 1 - 7) = (2,\ -6)\] **Krok 4.** Sprawdzamy pole wzorem Shoelace'a dla \(A(-5,-3)\), \(B(-2,4)\), \(C(5,1)\), \(D(2,-6)\): \[P = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_D) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_A - y_C)|\] \[= \frac{1}{2}|(-5)(4-(-6)) + (-2)(1-(-3)) + 5(-6-4) + 2(-3-1)|\] \[= \frac{1}{2}|(-5)(10) + (-2)(4) + 5(-10) + 2(-4)|\] \[= \frac{1}{2}|-50 - 8 - 50 - 8| = \frac{1}{2} \cdot 116 = \mathbf{58}\] Wynik zgodny. ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \(|BC|\). **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wektor: \[\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]\] Użyliśmy go w Sposobie 2 do skonstruowania prostopadłego boku kwadratu. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A - \(29\) | Myślenie, że \(BC\) to **przekątna** kwadratu, a nie bok. Dla kwadratu o przekątnej \(d\): \(P = \frac{d^2}{2} = \frac{58}{2} = 29\). Błąd: zadanie mówi „sąsiednie wierzchołki" - to bok, nie przekątna! | | B - \(40\) | Obliczanie \((x_C - x_B)^2 - (y_C - y_B)^2 = 49 - 9 = 40\) zamiast **sumy** kwadratów różnic współrzędnych. Pomylono \(+\) z \(-\) we wzorze na odległość. | | D - \(74\) | Użycie surowych współrzędnych \(x_C^2 + y_C^2 = 25 + 1 = 26\) albo \(x_B^2 + y_B^2 = 4 + 16 = 20\) i ich dodanie. Błąd: we wzorze na odległość bierzemy **różnice** współrzędnych, nie same współrzędne. | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** „Sąsiednie wierzchołki" = bok kwadratu. Gdyby dane były wierzchołki leżące naprzeciwko siebie (np. \(A\) i \(C\)), to \(AC\) byłoby przekątną i pole wynosiłoby \(\frac{|AC|^2}{2}\) - zupełnie inny wynik! > ⚠️ **Uwaga:** Pola kwadratu **nie trzeba** liczyć przez \(P = a \cdot a\) po wcześniejszym obliczeniu \(\sqrt{58}\). Wystarczy zauważyć, że \(P = a^2 = |BC|^2\), i od razu podać \(49 + 9 = 58\). Pierwiastkowanie jest niepotrzebne - oszczędza czas i eliminuje błędy. > ⚠️ **Uwaga:** Obrót wektora o \(90°\) to prosta sztuczka - zamień współrzędne miejscami i zmień jeden znak: \([a, b] \to [-b, a]\). Przydaje się przy wyznaczaniu prostopadłych boków figur na płaszczyźnie. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Kwadrat długości boku = pole (karta wzorów: \(|BC|^{2} = (x_{C}-x_{B})^{2} + (y_{C}-y_{B})^{2}\)) Sąsiedni wierzchołki: \(BC\) jest bokiem kwadratu. Pole = \(|BC|^{2}\): \[|BC|^{2} = (5-(-2))^{2} + (1-4)^{2} = 7^{2} + (-3)^{2} = 49 + 9 = 58.\] ### Sposób 2 - Obliczamy \(|BC|\) i potem kwadrat \(|BC| = \sqrt{58}\), więc \(P = (\sqrt{58})^{2} = 58\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(29\)** - to \(\tfrac{58}{2}\), jakby brano połowę przekątnej jako bok. - **B. \(40\)** - przypadkowo zbliżone, błąd rachunkowy. - **D. \(74\)** - być może \(\tfrac{5^{2}+7^{2}}{?}\); nie jest \(|BC|^{2}\). **Trik:** Wzór na odległość od razu podaje \(d^{2}\) - a pole kwadratu to \(d^{2}\). Pominąć etap pierwiastkowania! ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/17) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F17) ## Podobne zadania - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Punkty , , i są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta. ( ) 1, 1 A = ( ) 6,1 B = ( ) - [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-2) W układzie współrzędnych są dane punkty ( ) 43, 12 A = - , ( ) 50,19 B = . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną - [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1 3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi p _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_