# Matematyka — zadanie 18 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/18 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Stereometria, planimetria ## Treść Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy \(ABCD\) to /matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-174/z18.png przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie _ABCD Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to A. \(\sphericalangle SAO\) B. \(\sphericalangle SAB\) C. \(\sphericalangle SOA\) D. \(\sphericalangle ASB\) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(\sphericalangle SAO\) ## Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny **Klucz: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.** Szukamy kąta nachylenia krawędzi \(SA\) do płaszczyzny podstawy \(ABCD\). **Krok 1 - Rzut prostokątny punktu \(S\) na płaszczyznę podstawy.** Ostrosłup jest **prawidłowy** - znaczy, że wierzchołek \(S\) leży dokładnie nad środkiem podstawy. Środek podstawy kwadratu \(ABCD\) to punkt \(O\). Zatem rzutem prostokątnym \(S\) na płaszczyznę \(ABCD\) jest punkt **\(O\)**. **Krok 2 - Rzut prostokątny krawędzi \(SA\) na płaszczyznę podstawy.** Rzut prostokątny odcinka \(SA\) na płaszczyznę \(ABCD\) to odcinek łączący: - rzut punktu \(S\) → \(O\) - rzut punktu \(A\) → \(A\) (bo \(A\) leży w płaszczyźnie podstawy) Zatem rzutem krawędzi \(SA\) na płaszczyznę \(ABCD\) jest odcinek \(\boldsymbol{OA}\). **Krok 3 - Kąt nachylenia.** Kąt nachylenia prostej \(SA\) do płaszczyzny \(ABCD\) to kąt między prostą \(SA\) a jej rzutem \(OA\), czyli kąt przy wierzchołku \(A\) w trójkącie \(SAO\): \[\boxed{\sphericalangle SAO}\] To jest **kąt \(A\)**. ## Sposób 2 - Rozumowanie przez warunek prostopadłości Aby kąt nachylenia prostej \(SA\) do płaszczyzny \(ABCD\) był kątem danego trójkąta, jeden z boków tego trójkąta musi być **prostopadle do płaszczyzny podstawy** (lub leżeć w tej płaszczyźnie), a kąt musi być zawarty między odcinkiem \(SA\) a jego rzutem. Sprawdźmy trójkąt \(SAO\): - \(SO \perp\) płaszczyzna \(ABCD\) - bo \(O\) to środek kwadratu, a ostrosłup prawidłowy ma wysokość prostopadłą do podstawy. Zatem \(SO\) jest **wysokością** ostrosłupa. - \(OA\) leży w płaszczyźnie podstawy. - Kąt \(\sphericalangle SAO\) to kąt przy \(A\) - między krawędzią boczną \(SA\) a odcinkiem \(OA\) (rzutem \(SA\) na podstawę). Mamy trójkąt prostokątny \(SOA\) z kątem prostym przy \(O\). Kąt nachylenia \(SA\) do podstawy to właśnie kąt przy \(A\): \[\operatorname{tg}(\sphericalangle SAO) = \frac{|SO|}{|OA|}\] co potwierdza, że \(\sphericalangle SAO\) jest kątem między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy. ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pojęcia bryły i ich elementy (wysokość ostrosłupa). Kluczowe jest to, że w ostrosłupie prawidłowym wysokość \(SO \perp\) podstawa, co pozwala wyznaczyć rzut prostokątny. W tym zadaniu nie stosujemy konkretnych wzorów obliczeniowych z karty - wystarczy znajomość **definicji kąta nachylenia prostej do płaszczyzny** (rzut prostokątny) oraz własności ostrosłupa prawidłowego. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Kąt | Błąd | | B | \(\sphericalangle SAB\) | To kąt między krawędzią boczną \(SA\) a krawędzią podstawy \(AB\) - nie jest to kąt między \(SA\) a jej rzutem na płaszczyznę, bo \(AB\) nie jest rzutem \(SA\) na podstawę | | C | \(\sphericalangle SOA\) | To **ten sam trójkąt** \(SOA\), ale kąt przy \(O\) - jest to kąt **prosty** (\(90°\)), bo \(SO \perp\) podstawa. Nie jest to kąt nachylenia | | D | \(\sphericalangle ASB\) | To kąt przy wierzchołku \(S\) w trójkącie \(ASB\) - kąt między dwiema krawędziami bocznymi, nie między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między prostą a jej **rzutem prostokątnym** na tę płaszczyznę - NIE kąt między prostą a dowolną inną prostą leżącą w płaszczyźnie. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(\sphericalangle SAO\) (kąt przy \(A\)) z \(\sphericalangle SOA\) (kąt przy \(O\)). Kąt przy \(O\) to kąt prosty - \(SO \perp OA\) - więc to nie jest kąt nachylenia, tylko warunek, który pozwala zdefiniować rzut. > ⚠️ **Uwaga:** W ostrosłupie prawidłowym środek podstawy \(O\) to rzut wierzchołka \(S\) - to wynika z symetrii. W ostrosłupie **nieprawidłowym** rzut \(S\) może być w innym punkcie i wtedy kąt nachylenia wyznaczylibyśmy inaczej. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Punkt \(O\) jest spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego (środek podstawy). Rzut \(S\) na podstawę to \(O\). Więc rzut \(SA\) na podstawę to odcinek \(OA\). Kąt między \(SA\) a \(OA\), wychodzący z punktu \(A\) (końca krawędzi leżącego w podstawie), to \(\sphericalangle SAO\). ### Sposób 2 - Eliminacja Szukamy kąta o wierzchołku w punkcie podstawy (\(A\)), między krawędzią \(SA\) a jej rzutem \(AO\). - \(\sphericalangle SAO\) - właściwy! ✓ - \(\sphericalangle SAB\) - kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy (to NIE to samo). - \(\sphericalangle SOA\) - wierzchołek w \(O\), kąt prosty (\(90^{\circ}\)) między wysokością \(SO\) a podstawą. - \(\sphericalangle ASB\) - kąt w wierzchołku \(S\), nie jest kątem nachylenia. ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B.** Kąt \(\sphericalangle SAB\) leży między krawędzią boczną a krawędzią **podstawy**, nie jej rzutem (to nie to samo). - **C.** Kąt \(\sphericalangle SOA = 90^{\circ}\) - zawsze prosty, bo \(SO\) to wysokość. - **D.** Kąt \(\sphericalangle ASB\) to kąt płaski ściany bocznej \(ASB\), nie nachylenia. **Trik:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny = kąt między prostą a jej **rzutem** w płaszczyźnie. Wierzchołek kąta leży tam, gdzie prosta "wchodzi" w płaszczyznę. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/18) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F18) ## Podobne zadania - [Zadanie 57.1](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/57.1) — Zadanie 57.1. (0-1) Na którym rysunku prawidłowo oznaczono i podpisano kąt 𝜶 pomiędzy przekątną 𝑩𝑯 prostopadłościanu a jego ścianą boczną 𝑨𝑫𝑯𝑬? Zaznacz właściwą - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-1) Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS. Kątem między krawędzią CS a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa jest kąt A. DCS B _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_