# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest
równa
A. 14
B. 21
C. 28
D. 26
Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa A. 14, B. 21, C. 28, D. 26.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(21\)

## Sposób 1 - Wzór na graniastosłup n-kątny

Graniastosłup zbudowany jest na podstawie będącej wielokątem \(n\)-kątnym. Kluczowe wzory:

- Wierzchołki: \(2n\) (po \(n\) w każdej podstawie)
- Krawędzie: \(3n\) (\(n\) w dolnej podstawie + \(n\) w górnej + \(n\) bocznych)
- Ściany: \(n + 2\)

**Krok 1.** Mamy \(14\) wierzchołków, więc:
\[2n = 14 \implies n = 7\]
To graniastosłup **siedmiokątny**.

**Krok 2.** Liczba krawędzi:
\[k = 3n = 3 \cdot 7 = \mathbf{21}\]

## Sposób 2 - Wzór Eulera (weryfikacja)

Wzór Eulera dla wielościanów: \(V - E + F = 2\), gdzie \(V\) = wierzchołki, \(E\) = krawędzie, \(F\) = ściany.

Dla graniastosłupa siedmiokątnego:
- \(V = 14\)
- \(F = 7 + 2 = 9\) (7 ścian bocznych + 2 podstawy)
- \(E = ?\)

Podstawiamy do wzoru Eulera:
\[14 - E + 9 = 2\]
\[23 - E = 2\]
\[E = 21 \checkmark\]

Wynik się zgadza.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość budowy graniastosłupa i ewentualnie wzoru Eulera (który nie jest na karcie, ale jest standardową wiedzą geometryczną).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A \((14)\) | Uczeń podaje liczbę wierzchołków zamiast krawędzi - myli pojęcia |
| C \((28)\) | Uczeń liczy \(2n = 2 \cdot 14 = 28\), zapominając że \(14\) to już liczba wierzchołków, a nie \(n\) |
| D \((26)\) | Uczeń liczy \(n + 2 = 7 + 2 = 9\) ścian i myli je z krawędziami, lub stosuje błędny wzór \(2n + n - 2\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup \(n\)-kątny ma \(2n\) wierzchołków - jeśli zadanie mówi "14 wierzchołków", to \(n = 7\), a NIE \(n = 14\). Bardzo częsty błąd!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić liczby wierzchołków, krawędzi i ścian. Zapamiętaj: **krawędzie = \(3n\)**, bo każdy wielokąt \(n\)-kątny ma \(n\) boków, a bocznych krawędzi (łączących podstawy) też jest \(n\).

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \(V - E + F = 2\) działa dla każdego wielościanu wypukłego - to świetne narzędzie do sprawdzenia wyniku, gdy nie jesteś pewien wzoru na krawędzie.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Zliczanie wierzchołków i krawędzi
W graniastosłupie \(n\)-bocznym są:
- \(2n\) wierzchołków (\(n\) na górnej podstawie + \(n\) na dolnej),
- \(3n\) krawędzi (\(n\) krawędzi górnej podstawy + \(n\) krawędzi dolnej podstawy + \(n\) krawędzi bocznych).

Z warunku: \(2n = 14 \Rightarrow n = 7\) (graniastosłup siedmiokątny).

Liczba krawędzi: \(3n = 3\cdot 7 = 21\).

### Sposób 2 - Wzór Eulera (karta wzorów): \(W - K + S = 2\)
\(W=14\), graniastosłup \(n\)-kątny ma \(S = n+2\) ścian. Dla \(n=7\): \(S = 9\).

\[14 - K + 9 = 2 \Rightarrow K = 21.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(14\)** - liczba wierzchołków, nie krawędzi.
- **C. \(28\)** - \(2\cdot 14\), bez logiki.
- **D. \(26\)** - pomyłka z innym wielościanem.

**Trik:** Pamiętaj: graniastosłup \(n\)-boczny ma \(2n\) wierzchołków, \(3n\) krawędzi, \(n+2\) ścian. To zawsze pomaga.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_