# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 20. (0-1)
Prosta k przechodzi przez punkt
(
)
4,
4
A =
i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma
równanie
A.
4
0
x -
B.
0
x
y
C.
4
0
y +
D.
0
x
y

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Prosta k przechodzi przez punkt A = (4,-4) i jest prostopadła do osi Ox. Prosta k ma równanie A.x-4 = 0; B. x-y = 0; C. y+4 = 0; D. x+y = 0.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

Prosta \(k\) ma równanie \(x - 4 = 0\), czyli \(x = 4\).

## Sposób 1 - definicja prostej prostopadłej do osi \(Ox\)

**Kluczowe spostrzeżenie:** oś \(Ox\) jest pozioma. Prosta **prostopadła** do osi \(Ox\) musi być **pionowa**.

Każda pionowa prosta ma równanie postaci:
\[x = \text{stała}\]

Skoro prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A = (4, -4)\), to jej współrzędna \(x\) wynosi zawsze \(4\), niezależnie od wartości \(y\).

**Zatem:**
\[x = 4 \quad \text{czyli} \quad x - 4 = 0\]

To jest odpowiedź **A**.

## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu

Sprawdzamy, czy punkt \(A = (4, -4)\) spełnia równanie \(x - 4 = 0\):
\[4 - 4 = 0 \quad \checkmark\]

Sprawdzamy też, czy prosta \(x = 4\) jest pionowa (prostopadła do \(Ox\)):
- Prosta \(x = 4\) nie ma skończonego współczynnika kierunkowego - jest pionowa.
- Oś \(Ox\) jest pozioma (współczynnik kierunkowy \(= 0\)).
- Prosta pionowa jest zawsze prostopadła do prostej poziomej. \(\checkmark\)

Wynik potwierdzony: **\(x - 4 = 0\)**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:
\[y = ax + b, \quad \text{gdzie } a = \operatorname{tg}\alpha\]

Prosta pionowa (\(x = \text{stała}\)) **nie** ma postaci kierunkowej - współczynnik kierunkowy nie istnieje (tangens kąta prostego jest nieokreślony). Zapisujemy ją jako równanie ogólne:
\[Ax + By + C = 0 \quad \text{z } B = 0\]
czyli \(x - 4 = 0\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Równanie | Błąd |
| B | \(x - y = 0\), czyli \(y = x\) | To prosta skośna (pod kątem 45°), przechodzi przez \((0,0)\), nie przez \(A = (4,-4)\). Nie jest prostopadła do \(Ox\). |
| C | \(y + 4 = 0\), czyli \(y = -4\) | To prosta **pozioma** - równoległa do \(Ox\), a nie prostopadła. Uczeń myli „prostopadła do \(Ox\)" z „przechodzi przez \(y = -4\)". |
| D | \(x + y = 0\), czyli \(y = -x\) | To prosta skośna (pod kątem 135°), przechodzi przez \((0,0)\), nie przez \(A = (4,-4)\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wybór odpowiedzi **C** - uczeń widzi \(-4\) w punkcie \(A\) i zapisuje \(y = -4\). To prosta **równoległa** do \(Ox\), a nie prostopadła!

> ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła do \(Ox\) (poziomej) to prosta **pionowa**, a prosta prostopadła do \(Oy\) (pionowej) to prosta **pozioma**. Łatwo te dwie rzeczy pomylić - warto narysować szkic.

> ⚠️ **Uwaga:** Pionowa prosta \(x = 4\) nie ma postaci \(y = ax + b\) - nie da się jej zapisać ze współczynnikiem kierunkowym. Jej jedyną poprawną formą jest \(x = \text{stała}\) lub \(x - \text{stała} = 0\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Prosta prostopadła do osi \(Ox\)
Prosta prostopadła do osi poziomej (\(Ox\)) jest **pionowa**, ma równanie \(x = \text{const}\).

Prosta przechodzi przez \(A = (4, -4)\), więc \(x = 4\), czyli \(x - 4 = 0\).

### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu
Dla każdej odpowiedzi sprawdzamy, czy punkt \(A=(4,-4)\) spełnia równanie:
- A: \(4 - 4 = 0\) ✓ oraz prosta jest pionowa ✓
- B: \(4 - (-4) = 8 \ne 0\) ✗
- C: \(-4 + 4 = 0\) ✓ ale to prosta pozioma (\(y = -4\)), równoległa do \(Ox\), nie prostopadła.
- D: \(4 + (-4) = 0\) ✓ ale to prosta \(y = -x\), nachylona pod \(135^{\circ}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(x-y=0\)** - prosta \(y=x\), nachylona pod \(45^{\circ}\), nie prostopadła do \(Ox\).
- **C. \(y+4=0\)** - prosta pozioma \(y=-4\); **równoległa** do \(Ox\) (nie prostopadła).
- **D. \(x+y=0\)** - prosta \(y=-x\), pod \(135^{\circ}\).

**Trik:** Pionowa prosta to zawsze \(x = a\) (pomija ją wzór \(y = ax+b\) - nie ma stąd \(y\)!).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 51](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/51) — Zadanie 51. (0-1) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dany jest okrąg 𝒪 określony równaniem: (𝑥-2)2 + (𝑦+ 3)2 = 16 Dokończ zdania. Z
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mmap-p0-100-2308/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku 𝑆= (-1, 2) i promieniu 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź 
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16) — Zadanie 16. (1 pkt) Dany jest okrąg o równaniu ( ) ( ) 5 3 2 2 2 y x . Środek tego okręgu ma współrzędne A. ( ) 3 ,2 - B. ( ) 3 , 2 - C. ( ) 3 ,2 D. ( ) 3 , 2 D

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_