# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 21. (0-1)
Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (
)
0
3
,-
(zobacz rysunek).
Prosta l ma równanie
A.
3
3
3
y
x
B.
3
3
3
y
x
C.
1
3
2
y
x
D.
1
3
2
y
x
Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (0,-√3) (zobacz rysunek). Prosta l ma równanie A. y = √3/3x - √3; B. y = √3/3x + √3; C. y = 1/2x - √3; D. y = 1/2x + √3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

\[y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \sqrt{3}\]

## Sposób 1 - Nachylenie prostej przez kąt (wzór z tangensem)

**Kluczowy fakt:** Współczynnik kierunkowy prostej \(a\) w równaniu \(y = ax + b\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\).

\[a = \operatorname{tg}\alpha\]

Mamy \(\alpha = 30°\), więc:

\[a = \operatorname{tg}30° = \frac{\sin 30°}{\cos 30°} = \frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, -\sqrt{3})\), więc wyraz wolny:

\[b = -\sqrt{3}\]

**Równanie prostej:**

\[\boxed{y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \sqrt{3}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu

Sprawdzamy, czy prosta z odpowiedzi A faktycznie przechodzi przez punkt \((0, -\sqrt{3})\) i ma właściwy kąt nachylenia.

**Krok 1 - sprawdzenie punktu \((0, -\sqrt{3})\):**

\[y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3} \checkmark\]

**Krok 2 - znalezienie drugiego punktu i sprawdzenie kąta.**

Weźmy \(x = \sqrt{3}\):

\[y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} = \frac{3}{3} - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}\]

Prosta przechodzi przez \(A = (0, -\sqrt{3})\) i \(B = (\sqrt{3},\ 1-\sqrt{3})\).

Tangent kąta nachylenia:

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(1-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})}{\sqrt{3} - 0} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

A \(\operatorname{tg}30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\) ✓ - wynik się zgadza.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:
\[y = ax + b, \quad \text{gdzie } a = \operatorname{tg}\alpha\]
Współczynnik kierunkowy \(a\) to tangens kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\) - dokładnie tego użyliśmy w Sposobie 1.

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych dla \(30°\):
\[\operatorname{tg}30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\]
Bez znajomości tej wartości nie da się wyznaczyć współczynnika kierunkowego.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Poprawny współczynnik kierunkowy \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), ale **zły znak wyrazu wolnego** - wzięto \(+\sqrt{3}\) zamiast \(-\sqrt{3}\); prosta przechodziłaby przez \((0, +\sqrt{3})\) |
| C | **Zły współczynnik kierunkowy** - wzięto \(\frac{1}{2} = \sin 30°\) zamiast \(\operatorname{tg}30°\); pomylono sinus z tangensem |
| D | **Podwójny błąd** - zarówno zły współczynnik kierunkowy \(\frac{1}{2}\) (sinus zamiast tangens), jak i zły znak wyrazu wolnego \(+\sqrt{3}\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej odpowiada **tangensowi**, nie sinusowi ani kosinusowi! Odpowiedzi C i D to właśnie ta pułapka - \(\frac{1}{2} = \sin 30°\), a nie \(\operatorname{tg}30°\).

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \((0, -\sqrt{3})\) leży **poniżej** zera, więc wyraz wolny jest ujemny: \(b = -\sqrt{3}\). Odpowiedzi B i D mają \(b = +\sqrt{3}\) - to częsty błąd przy odczytywaniu wykresu.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) - obie formy są równe, ale CKE zapisuje w formie z \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) (bez pierwiastka w mianowniku). Zawsze **racjonalizuj mianownik** w odpowiedzi!

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy jako tangens kąta nachylenia
W równaniu \(y = ax + b\):
- \(a = \operatorname{tg}(\text{kąt nachylenia}) = \operatorname{tg} 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) (karta wzorów),
- \(b = \) rzędna punktu przecięcia z osią \(Oy\) = \(-\sqrt{3}\).

\[y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x - \sqrt{3}.\]

### Sposób 2 - Wartości \(\operatorname{tg}\) standardowych kątów
Kąty znane: \(\operatorname{tg} 30^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1\), \(\operatorname{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}\).

Wyraz wolny \(= -\sqrt{3}\) (bo przecina \(Oy\) poniżej zera).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(+\sqrt{3}\)** - zły znak wyrazu wolnego (\(+\) zamiast \(-\)).
- **C. \(a=\tfrac{1}{2}\)** - to \(\sin 30^{\circ}\), nie tangens.
- **D.** - podwójny błąd (oba współczynniki złe).

**Trik:** Zapamiętaj: \(\operatorname{tg} 30^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 60^{\circ} = 1\). \(\operatorname{tg} 30^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{3} = \tfrac{1}{\sqrt{3}}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (0-1) Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30 i przecina oś Oy w punkcie   0 3 , (zobacz rysunek). Prosta l ma równanie A. 3 3 3 y x   
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Dane są punkty o współrzędnych: A = (2, 1), B = (4, 9), C = (-2, 5), D = (8, 5). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest p
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Na rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A=(2,-3) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prost
- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21) — Zadanie 21. (1 pkt) Okrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie ( ) 3,1 O = i przechodzi przez punkty ( ) 0, 4 S = i ( ) 0, 2 T = . Okrąg ten jest opisan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_