# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · sierpień 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - punkty: 1 - działy: Stereometria ## Treść Zadanie 22. (0-1) Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 3 5 . Objętość tego stożka jest równa A. 36π B. 18π C. 108π D. 54π Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 3√5. Objętość tego stożka jest równa A. 36π; B. 18π; C. 108π; 54π. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(18\pi\) ## Sposób 1 - ze wzoru na objętość stożka **Dane:** wysokość \(h = 6\), tworząca \(l = 3\sqrt{5}\). Najpierw wyznaczamy promień podstawy. Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy środku podstawy), więc z twierdzenia Pitagorasa: \[l^2 = r^2 + h^2\] \[(3\sqrt{5})^2 = r^2 + 6^2\] \[45 = r^2 + 36\] \[r^2 = 9\] \[r = 3\] Teraz liczymy objętość stożka: \[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 54\pi = \mathbf{18\pi}\] ## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie tworzacej Mamy wynik \(r = 3\), \(h = 6\). Sprawdzamy, czy tworząca faktycznie wynosi \(3\sqrt{5}\): \[l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \checkmark\] Zgadza się - dane są spójne, a obliczony promień jest poprawny. Objętość wynosi \(\mathbf{18\pi}\). ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka: \[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\] Użyliśmy go w ostatnim kroku po wyznaczeniu promienia. **Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy go do wyznaczenia promienia podstawy z wysokości i tworzacej stożka. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A | \(r^2 = 9\), ale wzięto \(r = 9\) zamiast \(r^2 = 9\), czyli \(V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4\) - różne pomyłki w rachunkach dające \(36\pi\) | | C | Zapomniano o \(\frac{1}{3}\) w wzorze na objętość: \(\pi r^2 h = \pi \cdot 9 \cdot 12 = 108\pi\) (lub błędne \(h\)) | | D | Zapomniano o \(\frac{1}{3}\): \(\pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi\) - typowa pułapka! | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o \(\frac{1}{3}\) w wzorze na objętość stożka. Odpowiedź D (\(54\pi\)) to dokładnie wynik bez tej jednej trójki - łatwo wpaść! > ⚠️ **Uwaga:** Tworząca \(l\) to **nie** to samo co wysokość \(h\). Tworząca jest zawsze **dłuższa** niż wysokość. Upewnij się, że do wzoru \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) wstawiasz \(h = 6\), a nie \(l = 3\sqrt{5}\). > ⚠️ **Uwaga:** \((3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\), nie \(3 \cdot 5 = 15\) ani \(9\sqrt{5}\). Pamiętaj, że potęga działa na cały iloczyn: \((ab)^2 = a^2 b^2\). **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Pitagoras + wzór na objętość (karta wzorów: \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2}H\)) W stożku: \(l^{2} = r^{2} + H^{2}\), gdzie \(l\) - tworząca, \(H\) - wysokość, \(r\) - promień: \[(3\sqrt{5})^{2} = r^{2} + 6^{2},\] \[45 = r^{2} + 36 \Rightarrow r^{2} = 9 \Rightarrow r = 3.\] Objętość: \[V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3^{2} \cdot 6 = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 6 = 18\pi.\] ### Sposób 2 - Podstawienie bez wyznaczania \(r\) osobno Zauważ, że \(r^{2} = l^{2} - H^{2} = 45 - 36 = 9\), więc \(V = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 6 = 18\pi\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(36\pi\)** - bez mnożnika \(\tfrac{1}{3}\) (pomylono z walcem: \(V_\text{walca} = \pi r^{2} H = 54\pi\))? Lub \(\pi r^{2} + \). Ktoś mógł wziąć \(r=2\). - **C. \(108\pi\)** - \(\pi r^{2} H \cdot 2\) lub użyto tworzącej zamiast wysokości. - **D. \(54\pi\)** - \(\pi r^{2} H\) (wzór na walec, nie stożek). **Trik:** Stożek = \(\tfrac{1}{3}\) walca o tej samej podstawie i wysokości. Zapomnij \(\tfrac{1}{3}\) = błąd. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** B _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-p1-1p-174%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie - [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o - [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_